極限の不定形について (0*∞)

すごくシンプルな質問なんですが、0*∞はなぜ0ではなく、不定形なのでしょうか。無理かもしれませんが、厳密な証明などではなく、感覚的なものを日本語で教えていただけるとうれしいです。

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2007/02/12 15:15

0*∞は極限値が0と∞ということです。

これが、一つに決まらないということです。

たとえば、an=1/nとbn=nという二つの数列を考えると、
n→∞とするとき、それぞれの数列の極限はan→0、bn→∞ですが、
an×bn=1なので、an×bn→1です。

他に、an=2/n、bn=nとすると、an→0、bn→∞ですが、
an×bn=2なので、an×bn→2です。

他にも無数に例はありますが、0に収束するものと、無限大に発散する
ものを掛けたものの極限値は、場合によって何にでも値をとりうる、
あるいは発散する場合もあるので、１つに定まらないという意味で
不定形と言っているものと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/12 15:29

No.2 ベストアンサー 回答者： haruki328 回答日時： 2007/02/12 15:02

感覚的でいいということであれば、

「0」は実際には0ではなくて0に限りなく近づくという状態です。
例えば、x→∞のとき
　　　　x → ∞ （1/x → 0）
　　　　logx → ∞（1/logx → 0）
ですが、(logx)/x が0*∞の状態になります。
この場合はlogxよりもxの方が大きくなるのが速いので、0になります。
(logxが大きくなるよりも、1/xの方がより小さくなる)

x/(logx)も0*∞ですが、logxよりもxの方が大きくなるのが速いので、
この場合は∞となり発散します。

この回答へのお礼

わかりやすい例をありがとうございます。例はグラフを考えればすぐわかりますよね。

「0」は実際には0ではなくて0に限りなく近づくという状態です。とあり、これで「0*∞＝不定形」ということはわかりましたが、「0に限りなく近づくという状態」というのは極限の分野に限っていえることなのでしょうか？

お礼日時：2007/02/12 15:17

No.1 回答者： hagehageha 回答日時： 2007/02/12 14:57

全くの普通人ですので、感覚で答えます。

０は無です。無に形は有りません。形の無いものをどれだけ何倍（拡大）しても形が無い。形が無い以上不定形と言うしかないのでは。ダメですか。