円周率

円周率に終わりはあると思いますか？
わたくし個人の意見として、
終わりはあると思いますが、
真円であれば、終わりは無いのかもしれません。

みなさまの意見をお聞かせください。

No.7 ベストアンサー 回答者： ranx 回答日時： 2002/05/23 10:22

> 真円であれば、終わりは無いのかもしれません。

数学に携わる人達が真円以外の円を考えることはまずありません。そして、それは
どこかに転がっている物理的実体に見られる円、計測の対象となる円ではなく、
概念的に構成された円です。
「（ユークリッド平面上で）一点から等距離にある点の軌跡」という定義から、
数学者は円の全ての性質を導き出します。円周率も、計測によって分かるのではなく、
計算によって導き出されるのです。簡単な例をあげると
π/4＝1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-(1/11)+・・・・・
というのがあります。（収束が遅いので、実際の計算に使われることは、まずありませんが）
右辺は無限に続くのですが、当然(1/1001)、(1/10001)、(1/100001)などが限りなく出現
します。当然、それ相応の桁のところに数字が現れることは、何となく理解できると
思います。
きちんとした証明は、私は知りませんが、リンデマンという数学者によって超越数で
あることが証明されたと聞いています。超越数というのは、整数を係数とする代数方程式の
解とはならないということです。例えば１万桁で終わる数はaを適当にとると
(10^10000)x-a=0
という方程式の解になるので超越数ではありません。

この回答へのお礼

なにやら難しいですね・・・
どうもありがとうございます

お礼日時：2002/05/23 11:38

No.8 回答者： kouji0524 回答日時： 2002/05/23 11:07

すばらしい発想ですね。

昔私もそれと同じことを考えていました。
しかし調べた結果終わりはないとのことです。

No.6 回答者： good777 回答日時： 2002/05/23 03:01

円周率は「超越数」といわれています。

代数的数ではありません。小数点表記をすれば、
3.14159…と無限に続きます。
これを「円周率」と呼べば3文字、
πといえば　1文字、また、円周率は数直上の1点です。
表現の仕方で圧縮できます。

No.5 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/05/23 01:36

無理数は、循環しない無限小数ですから、数に終わりはありません。

πが無理数であることの証明は、下記URLを参考になって下さい。

参考URL：http://ob.aitai.ne.jp/~horibe/New2F.HTM

No.4 回答者： mayumayukko 回答日時： 2002/05/22 22:59

余談ですが

私たちの世代は円周率を３．１４の近似値で代用してきましたが、今年から文部化学省の指導では円周率を３として計算させるようにしたみたいです。こんなんでほんとにいいのでしょうか。パイの意味がまったく理解されないままになってしまいます。これからの日本はどうなるのでしょうか。

この回答への補足

中学高校へと学力がアップしていけば、そのつど、3.14ないし3.14・・・って教えればいいような気がしますが、小数や分数の計算は、なれですから、小学生の内になれさせたほうが良いかもしれませんね。

補足日時：2002/05/23 11:33

No.3 回答者： nubou 回答日時： 2002/05/22 22:22

有限桁の小数と循環小数は有理数であり

有理数は有限桁の小数か循環小数です
これは以前私がこのサイトで証明したことがあります
しかしπは有理数でなく無理数です
だからπは循環しない無限小数です
しかしこれの証明は難しいような気がします
誰か証明して貰いたいものですね

No.2 回答者： aabbccddeeff 回答日時： 2002/05/22 21:34

多分、１０進表記であってもなくても（πと表すのはナシとして。

）無限だという気がしますが、質問は１０進表記での話でしょう。
（ここらへんのことは詳しい方の説明に期待しましょう。）

有限か無限かの答えは既に出ています。

私はむしろ、「なぜ有限だと思ってしまうのか」ということに触れたいです。

・小学生のときから、小数といえば有限小数ばかり扱ってきた。
・無限小数について教科書で詳しく触れられていない。
・われわれの身近にある物体は、大きさに限りがあるため、無限に続くなどということを想像しにくい。
・小学校の教科書で、円周率の近似値として3.14という有限小数を使ってきたため、なんとなく有限だと思っている。
・無限小数というものが普通の数と異なる例外的な数だという固定観念のため、円という基本的な図形に（関して）そのような例外的な数が登場するのは不自然だと思っている。
・円周率が無限小数だという証明を習っていない。（もしくは、習ったんだが忘れてしまった。）

No.1 回答者： westpoint 回答日時： 2002/05/22 19:50

非循環無理数であると証明されていたと思いますので、終わりはないと思いますよ。

この回答への補足

みなさまの意見では無理数であるとのことですが、
わたくしがなぜ終わりがあると考えるかを、この場でいいます。
円でできた一つの縄を想像してください。
円である以上、直径は有理数です。
が、その縄を切断してください。
そうすると、円であった縄は一本の直線の縄になります。
その縄には初めと終わりが存在します。
終わりがあるということは必ず有理の長さが存在するということになりませんか？

みなさまはこれに対してどのような考えをお持ちでしょうか？意見をお聞かせください。

補足日時：2002/05/23 11:39