無限積の値

Ｘ＝0.9×0.99×0.999×0.9999×0.99999×0.999999×・・・
Ｙ＝1.1×1.01×1.001×1.0001×1.00001×1.000001×・・・

は前から実に興味深い数だと思ってます。
この数について何らかの情報をもっている方は教えて下さい。

No.7 ベストアンサー 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/04/10 20:24

#6 です。

たびたびお邪魔ですが、もう一つの方について
　Π{(10^i)+1}
i=1～N
の数字配列を羅列してみます。
上位 N 桁まで確定しているのがわかります。
　　-------------------------------
(LM 多倍長電卓 / 内部有効桁(Word):1000　10進表示桁:4791)

　for(a=i=1;i<=10;i++) { a*=10^i+1; } print a;
= 1 11223 45691 24692 47024 69023 34433 19864 19641 86420 86543 22111.

　for(a=i=1;i<=30;i++) { a*=10^i+1; } print a;
= 1 11223 45691 37050 63212 60780 67094 28222 21287 14461 95180 10493 36058 87109 ....

　for(a=i=1;i<=50;i++) { a*=10^i+1; } print a;
= 1 11223 45691 37050 63212 60780 67094 40580 37475 07467 57759 15999 71770 30697 69955 51623 ....

　for(a=i=1;i<=70;i++) { a*=10^i+1; } print a;
= 1 11223 45691 37050 63212 60780 67094 40580 37475 07467 57759 28357 87958 23703 32534 57129 ....

　for(a=i=1;i<=90;i++) { a*=10^i+1; } print a;
= 1 11223 45691 37050 63212 60780 67094 40580 37475 07467 57759 28357 87958 23703 32534 69488 ....

　for(a=i=1;i<=100;i++) { a*=10^i+1; } print a;
= 1.11223 45691 37050 63212 60780 67094 40580 37475 07467 57759 28357 87958 23703 32534 69488 (e5050)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
みなさんのご解答でふんいきはつかめました。

お礼日時：2007/05/01 10:08

No.6 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/04/10 17:56

#4 です。

テータ級数なのかも知れませんが、「だからどうした」となりそうです。

数字配列に着目するほうが面白そう。
　Π{(10^i)-1}
i=1～N
のNを増やしながら羅列していくのが見やすいでしょう。でも EXCEL では15桁止まり、すぐ行き詰まりでアキマへん。

フリーソフト「多倍長電卓LM」で N=10 を試算。これで上位10桁は確定、のはずですが... 。

(10-1)*(100-1)*(1000-1)*(10000-1)*(100000-1)*(1000000-1)*(10000000-1)*(100000000-1)*(1000000000-1)*(10000000000-1)
= 8900101000088880011112998877890031110997889100010099891

No.5 回答者： zk43 回答日時： 2007/04/08 22:59

また考えたのですが、対数をとると、

Σ(n=1,∞)1/(n(1-10^n))
という級数がでてきます。
Σ(n=1,∞)1/(n(1-x^n))
をxの関数で表せるのか？
これがわかりませんでした。

結構困難性の高い問題かな、と思います。

A=Σ(n=1,∞)1/(n(1-10^n))とすると、
X＝exp(A)
となるのですが、エクセルで計算すると、X＝0.89001…になりました。

もう少し調べてみようかなと思います・・・

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/04/08 22:44

とりあえず、使えそうな公式を一つだけ。

------------------------------------
　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E8%A7%92% …
>オイラーの五角数定理
　Π(1-x^n) = Σ(-1)^n x^{n(3n-1)/2}
　(ただし、Πは n → 0～∞, Σは n → -∞～∞ にわたる)

この回答へのお礼

ありがとうございます。No1さんが計算してくださった

X = product(1-1/10^k, k=1..infinity) =
.8900100999989990000001000099999999899999000000000010000009999999999998999999900000000000000099999999

はそれで理解できそうです。
無理数そうですね。

お礼日時：2007/04/11 15:57

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2007/04/08 22:09

すみません、先ほどのは、さーっとやったら間違えました。

基本的な考えは、対数をとって無限級数を考えることと思います。
（詳細な計算はまだです・・・）

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/04/08 21:25

Ｘ＝Π(n=1,∞)(1-(1/10)^n)

の両辺の自然対数をとると、
logＸ＝Σ(n=1,∞)log(1-(1/10)^n)

log(1-x)=-x+x^2/2-x^3/3+…
を利用して整理すると、
log(9/10)^(10/9)
になるので、
Ｘ＝(9/10)^(10/9)
になると思います。

Ｙの方も同様にできると思います。

No.1 回答者： inara 回答日時： 2007/04/08 21:08

数式処理ソフトでは解なしでした。

100桁で数値計算すると以下のようになりました。X のほうは規則性がありそうですが。

X = product(1-1/10^k, k=1..infinity) =
.8900100999989990000001000099999999899999000000000010000009999999999998999999900000000000000099999999
Y = product(1+1/10^k, k=1..infinity) =
1.112234569137050632126078067094405803747507467577592835787958237033253469488141104376472222642135239