「毎秒確率 p で死ぬ虫」3匹が、全滅するまでの時間の期待値の求め方を教えていただけないでしょうか?
毎秒確率 p で死ぬ虫が「1匹だけ」の場合は分かりました。
例えば、この虫が・・
5秒目で死ぬ確率
=4秒間死なずに5秒目に死ぬ確率
= (1-p)^4 p
ですよね。
従って、この虫が死んでしまう時間の期待値は
1秒×p + 2秒×(1-p)p + 3秒×(1-p)^2 p + 4秒×(1-p)^3 p + ・・・
つまり、
∞
Σ n(1-p)^(n-1) p = 1/p
n=1
となると思います。
ここまでは分かったのですが、これが
「三匹の虫が全て死んでしまうまでの時間」
の期待値だとどうやって計算すれば良いのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
「より、」と書いたのはちょっと言葉が変だったかもしれませんね。
P(X≦n)=P(X1≦n)P(X2≦n)P(X3≦n)
から
P(X≦n)を計算し、
P(X=n)=P(X≦n)-P(X≦n-1)
によってP(X=n)を計算して、
平均=ΣnP(X=n)
を計算する、という流れです。
なぜP(X=n)=P(X≦n)-P(X≦n-1)になるかというと、
X=nになるのはX≦nであって、X≦n-1でない、場合であるからです。
おわかりでしょうか?
X=nになるという事象を{X=n}と書くと、事象{X=n}は事象{X≦n}から
事象{X≦n-1}を除いた事象に等しくなります。
(ベン図というものを知ってますか?
X≦n-1ならばX≦nだから{X≦n}⊃{X≦n-1}であり、
{X=n}={X≦n}-{X≦n-1}をベン図を描いてみると良いです。)
あるいは、
具体的な数字で考えると、たとえば、10秒で全滅する確率は、10
秒以下で全滅する確率から、9秒以下で全滅する確率を引いた確率と
なります。
{10秒以下であり、9秒以下でない}={ちょうど10秒}
イメージできたでしょうか?
このように、ちょうどある数値である確率が求めにくい場合は、
まず、ある数値以下、あるいは、ある数値以上の確率を求めて、
これをもとに、ちょうどある数値である確率を求める、という
ことはよくあります。
確率論の一般理論で、確率関数、分布関数などを勉強すれば、
よくわかるようになると思います。
ちなみに、P(X1=n)=(1-p)^(n-1)*pは一般に幾何分布と言われるもので
す。
No.1
- 回答日時:
虫に1,2,3と番号を付けます。
虫1が死ぬまでの時間をX1とすると、n秒目に死ぬ確率は、
P(X1=n)=(1-p)^(n-1)*p
X2,X3も同様。
3匹の虫が全部死ぬまでの時間はX=max(X1,X2,X3)です。
P(X≦n)=P(max(X1,X2,X3)≦n)
=P(X1≦n,X2≦n,X3≦n)
=P(X1≦n)P(X2≦n)P(X3≦n)
より、
P(X=n)=P(X≦n)-P(X≦n-1)
として計算を進めてはどうでしょうか。
(3匹の虫の死ぬのは互いに独立とします)
この回答への補足
ありがとうございます。
すみません。なぜ
> P(X1≦n)P(X2≦n)P(X3≦n)
> より、
> P(X=n)=P(X≦n)-P(X≦n-1)
こうなるのかが分からないのですが、教えていただけないでしょうか・・
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