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確率変数Xが平均λ^-1の指数分布に従っているとする。実数xに対して[x]をxを超えない最大の整数と定義して、整数値のみをとる確率変数Y=[X]はどんな分布に従うかを考えるときに
指数分布は幾何分布の連続版のようなものだと聞いたことがあるので幾何分布になるのだろうと思いますがこれはどのように説明したらよいのでしょうか??またそのときパラメータpはどのようになるのでしょうか??教えてください。

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A 回答 (3件)

確率変数Xの確率密度関数は、


f(x)=λe^(-λx)(x>0)、0(x<0)

P(Y=n)=P([X]=n)=P(n≦X<n+1)より、
P(Y≧n)=P(Y=n)+P(Y=n+1)+…
=P(n≦X<n+1)+P(n+1≦X<n+2)+…
=P(X≧n)=∫(x=n→∞)λe^(-λx)dx=e^(-λn)
よって、
P(Y=n)=P(Y≧n)-P(Y≧n+1)=e^(-λn)-e^(-λ(n+1))
=e^(-λn)(1-e^(-λ))={e^(-λ)}^n(1-e^(-λ))
したがって、p=e^(-λ)とみれば、これは、パラメータpの幾何分布と
考えられます。
(成功確率がpの試行を繰り返すとき、n回連続で成功し、n+1回目に
失敗する確率)
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この回答へのお礼

zk43さん、いつもありがとうございます!!今回は一度で理解できました。ぼくは授業を一人で決めるので知り合いがなかなか少なく、わからない問題が出たときに困ることが多々あります。zk43さんはどのように勉強されているのでしょうか??もしよろしければ参考書や、勉強方法についてアドバイスをください。よろしくお願いします。

お礼日時:2007/05/11 01:11

私は長年、確率統計を使う仕事に携わっていますので、この手の問題は


割とすぐにわかります。

万人にとって適切な教科書・勉強法があるとは思えませんが、私が大学
時代に使ったのは、
教科書
「Probability An Introduction(Oxford Science Publications)」
洋書ですが読みやすく、基本理論がよくわかり、私は非常に気に入って
います。
演習書
「明解演習 数理統計(小寺平治)」
平治親分の明解演習シリーズは有名です。
「確率統計演習(国沢…)」なくしたので正確には忘れた。
最近買ったのは、トピック風なもので、
「確率論へようこそ(シュプリンガー・数学リーディングス)」
これは問題の考え方が非常に斬新です。ちょっと難しいかも。

勉強法としては、個別の問題をたくさんやるのは良いですが、一般的な
法則として整理して他の問題にも応用できるようになれば良いですが、
そうでなく勘でやっているだけではその場限りになってしまうので、ま
ずは一般的な基礎理論をしっかり勉強しないといけないと思います。
確率論でいえば、試行、標本空間、事象空間、確率測度といった確率空
間の構築から始まって、様々な分布や、分布関数と確率関数・確率密度
関数の関係などの一般理論を一通りみっちりやる必要があると思いま
す。
この問題でいえば、確率関数と分布関数の関係から容易にやり方がわかります。
そして、一般理論をやりながらも、具体的な問題と照らし合わせて、
イメージを作りあげるとよいと思います。そして、具体的な問題をやる
ときも、常に一般理論と照らしわせて考えると良いと思います。
(その問題を解くのに、どのような一般理論を適用したか。)
また、確率論をやる下地として、集合論とか、ある程度の微積分の計算
はできないといけませんね。
このサイトを見ていても、ただその場限りでクイズのように考えている
ものとか、集合の考え方を知らないだけとか、単に計算ができないだけ
とかが多い印象を受けます。
(あまり偉そうなことを言うのは嫌ですけど…)

あと、パソコンで計算したりとか、サイトを見るとかしていても意外と
身に付かないものなので、とにかく紙に書いて考える、という方が良い
と思います。分からなくても、紙に書き写してみると意外と分かってく
るということがあります。写経みたいなもんで。。。
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この回答へのお礼

色々と細かく説明してくださってありがとうございました!!
自分には基本的なところがしっかり確立できていないのがよくわかりました。これからはよく考えてから質問したいと思います。ありがとうございました。

お礼日時:2007/05/13 17:55

平均がλ^(-1)ってことは、Xの密度関数は


f(x) = λ e^(-λx) ですね。

Yの確率関数を求めるにあたり、次のように考えます。ある非負の整数yについて、
Y=y ⇔ y≦X<y+1

したがって、
y = 0,1,2,...について
Pr(Y=y)=∫f(x) dx, ただし積分の範囲は[y,y+1)です。
計算間違いが無ければ
Pr(Y=y) = -e^[-λ(y+1)] + e^[-λy]
になると思います。
幾何分布ではない。。。と思ったら、
Pr(Y=y) = -e^[-λ(y+1)] + e^[-λy]
    = [e^(-λ)]^y [1-e^(-λ)]
    = [1-{1-e^(-λ)}]^y [1-e^(-λ)]
と書けるので、
Y+1が、p=1-e^(-λ) の幾何分布にしたがっている、のかな。幾何分布は0をとりませんからね。
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この回答へのお礼

早速の返事ありがとうございました!!今回は二人のかたが返信してくださいましたのでよく理解ができました。またの機会がありましたらよろしくお願いします。

お礼日時:2007/05/11 01:13

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Qカイ2乗検定って何??;;

タイトルのとおりですが…大学で統計の基礎な授業を一般教養で受けています。だけど知らない&説明のない言葉がいっぱぃで、全くついていけません(>_<))
「人が一番選ばなさそうな数字」を何度か投票した結果があって、その数字は無作為に選ばれてるかどうか、有意水準1%としてカイ2乗検定をして判断する、という問題があるのですが、カイ2乗検定自体、授業でちらっと言葉は使ったものの、計算の仕方、使い方の説明等はなく、まったく手がつかずにいます;;ネットでも調べてみましたが、どう使っていいのかまでは分かりませんでした。
知識の無い私でもわかるようなものがあれば教えて下さいっっ!お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは.χ2(カイ二乗)検定を厳密に理解するには,数学的素養を持っている状態できっちりと統計学を学習する必要があるのですが,統計データを解析するための手段として統計学を「使う」のであれば,多少の原理を知っておけばよいでしょう.
以下初学者向けにかなり乱暴な説明をしています.正確な理解をしたければ,後で統計学の教科書などで独学して下さい.

χ2検定とは,χ2分布という確率分布を使ったデータ解析法と考えてもらう……のが一番なのですが,多分χ2分布って何? と思われるでしょう.χ2分布とは,二乗値に関する確率分布と考えることができるのですが,この辺もさらりと流して下さい.

例を使って説明します.今,道行く人にA,B,C,Dの四枚のカードの中から好きなもの一枚を選んでもらうとしましょう(ただし,選んでもらうだけで,あげるわけではありません.単にどのカードを選択仕方の情報を得るだけです).一人一枚だけの条件で,160人にカードを選んでもらいました.
さて,ここで考えてみて下さい.4枚のカードには大きな違いはなく,どれを選んでもかまわない.でたらめに選ぶとなれば,どのカードも1/4で,同じ確率で,選ばれるはずですよね? ならば,160人データならば,Aは何枚ほど選ばれる「はず」でしょうか? 同様に,B,C,Dは何枚選ばれる「はず」でしょうか?
……当然,A=B=C=D=40枚の「はず」ですよね? この40枚という数値はでたらめに(無作為に)選ばれたとしたらどんな数値になるかの【理論値】を意味します.

さて,上記はあくまでも理論値であり,実際のデータは異なる可能性があります.というよりはむしろ違っているのがふつうでしょう.そのような実際に観測された数値を【観測値】と呼びます.
仮に理論値と観測値が以下のようになったとします.

        A    B    C    D
(1)観測値   72   23   16   49
(2)理論値   40   40   40   40

当然のように観測値と理論値にズレが生じています.しかし現実と理論が異なるのはある意味当然なのですからぴったり一致することなどありえません.そこで,「ある程度一致しているか(ズレは許容範囲か)」を問題にすることになります.しかし,「ある程度」といわれても一体どのぐらいであれば「ある程度」と言えるのでしょうか? なかなか判断が難しいではないですか?
確かに判断が難しいです.そこで,この判断のために統計学の力を借りて判断するわけで,更に言えばこのような目的(理論値と観測値のズレが許容範囲かどうか)を検討するときに使われるデータ解析法がχ2検定なのです.

        A    B    C    D
(1)観測値   72   23   16   49
(2)理論値   40   40   40   40
(3)ズレ    +32   -17   -14   + 9
(4)ズレ二乗 1024   289   196   81
(5)(4)÷(2) 25.6  7.225  4.9  2.025

 χ2=25.6+7.225+4.9+2.025=49.25

計算過程をさらりと書いていますが,早い話が観測値と理論値のズレの大きさはいくらになるのか,を求めることになります.最終的には「49.25」というズレ値が算出されました.

さて,この「49.25」というズレ値が許容範囲かどうかの判定をするのですが,ここで,χ2分布という確率分布を使うことになります.詳細は統計学教科書を参考してもらうとして,χ2分布を使うと,○○というズレ値が(ある条件では)どのぐらい珍しいことなのか,という「珍しさの確率」を教えてくれます.
かりに「有意水準1%=1%よりも小さい確率で発生することはすごく珍しいと考える(許容範囲と考えられない)」とすれば,「珍しさ確率」が1%以内であれば「許容範囲ではない」と判断します.

以上,長々と書きました.今までの説明を読めばわかるように,χ2検定とはある理論値を想定した時,実際の観測値がその理論値とほぼ一致しているかどうかを調べるための統計解析法のことです.

χ2検定では,理論値をどのように設定するかは分析者の自由です.その設定の仕方で,χ2検定は「適合度の検定」や「独立性の検定」など異なる名称が付与されますが,本質は同じなのです.

質問者さんの場合は

> 「人が一番選ばなさそうな数字」を何度か投票した結果があって、その数字は無作為に選ばれてるかどうか、

これを理論値としてうまく設定することが鍵となるでしょう.

こんにちは.χ2(カイ二乗)検定を厳密に理解するには,数学的素養を持っている状態できっちりと統計学を学習する必要があるのですが,統計データを解析するための手段として統計学を「使う」のであれば,多少の原理を知っておけばよいでしょう.
以下初学者向けにかなり乱暴な説明をしています.正確な理解をしたければ,後で統計学の教科書などで独学して下さい.

χ2検定とは,χ2分布という確率分布を使ったデータ解析法と考えてもらう……のが一番なのですが,多分χ2分布って何? と思われるでしょう.χ2分布...続きを読む

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z


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