部分分数展開をする問題なのですが．．．

Question

○ F(s) = 2 / s(s^2 + 2s + 2)
○ F(s) = 1 / S^2(s +1)

を部分分数展開するとどうなるのでしょうか．．．
中間試験の勉強なのですが，良く分かりません．
部分分数展開について詳しく記述してあるサイトや，
もしくはここで教えてくれる方がいましたら，答え
とは言いません，解き方を詳しく教えて頂けない
でしょうか．
私の持っている教科書は式と答えしか書いていない
ので，解きようがありません．
よろしくお願いします．

siegmund · Accepted Answer

(1)　　F(s) = 2 / s(s^2 + 2s + 2)
でしたら，
(2)　　F(s) = a/s + (bs + c)/(s^2 + 2s + 2)
として，通分整理すれば
(3)　　F(s) = {(a+b)s^2 + (2a+c)s + 2a}/s(s^2 + 2s + 2)
ですから，(1)(3)の s の各次の係数を比べて
(4)　　a + b = 0
(5)　　2a + c = 0
(6)　　2a = 2 
となります．
(4)(5)(6)の連立方程式を解いて
(7)　　a = 1,　　b ＝-1,　　c = -2
すなわち，
(8)　　F(s) = 1/s - (s+2)/(s^2 + 2s + 2)
です．

もう一つは，
(9)　　G(s) = 1/s^2(s +1)
を
(10)　　G(s) = a/s + b/s^2 + c/(s+1)
として，通分整理すれば
(11)　　G(s) = {(a+c)s^2 + (a+b)s + b} / s^2(s +1)
ですから
(12)　　a + c = 0，　　　a + b = 0，　　　b = 1
で，
(13)　　a = -1,　　　b = 1,　　　c = 1
になります．
つまり
(14)　　G(s) = -1/s + 1/s^2 + 1/(s+1)
です．

要するに，分母が
(15)　　(x+α) (x+β)^2 (x^2+γx+δ)
の形だったら，
(16)　　a/(x+α) + b/(x+β) + c/(x+β)^2 + (dx+e)/(x^2+γx+δ)
とすればよいわけです．
通分すると x^5 までの項が分子に出ますから，連立方程式は５本．
未知数が a～e の５つで，ちゃんと解けます．

もっと因数があっても同様の方針です．

Rossana · Answer

☆補足回答☆
(s+1+i)(s+1-i)とした場合は定数hの共役複素数をh*とすると、

      F(s) =a/ s＋h/(s+1+i)＋h*/(s+1-i)

と置けます。この置き方がテクニックです！！このようにすると美しく計算できます。
　すると、
 a=lim(s→0)sF(s)=lim(s→0)2/(s^2+2s+2)=1

 h=lim(s→-1-i)(s+1+i)F(s)
  =lim(s→-1-i)2/s(s+1-i)=2/(-1-i)(-2i)
  =-i/(1+i)=-i(1-i)/2=-1/2-i/2
 
したがって、

F(s)=1/ s＋h/(s+1+i)＋h*/(s+1-i)
　　=1/s+{(h+h*)(s+1)-i(h-h*)}/{(s+1)^2+1}
　　=1/s+(h+h*)(s+1)/{(s+1)^2+1}
                 -i(h-h*)/{(s+1)^2+1}
    =1/s-1×(s+1)/{(s+1)^2+1}
                -i(-i)/{(s+1)^2+1}
    =1/s-1×(s+1)/{(s+1)^2+1}
                -1/{(s+1)^2+1}

∴L^(-1){F(s)}=1-e^(-t)L^(-1){s/(s^2+1^2)}
                    -e^(-t)L^(-1){1/(s^2+1^2)}
              =1-e^(-t)cost-e^(-t)sint

First_Noel · Answer

す，すみません・・・とんでもない勘違いをしておりました．
高校生の方だと思い込んでしまって・・・ごめんなさい！
No.4の私のところは読み飛ばして下さい．．．

First_Noel · Answer

＞の部分も虚数を用いて因数分解することができまるよね． 

実数・虚数以外でも数学では面白い「数」が定義されていて，
４乗すると１になる数（１以外で）を定義して，a+bi+cj，と言うものも
あります．こうすると，a+bj，までの因数分解に留まらず，a+bi+cj，と
言うところまでも因数分解をすることも出来ます．

同様にして，８乗して１になる数・・・なんて定義して行けば，因数分解は
無限に続いてしまいます．

従って，どの数の定義範囲まで因数分解するか？，と言うことが重要に
なります．もし「実数の範囲で」ならば，上の方のご回答ですが，
「虚数も含めた範囲で」ならば，stargroundさまのご指摘の通りの
ところまで因数分解まで行う必要があります．

高校数学の範囲では，特に「虚数または複素数」と書いていなければ，
実数範囲での因数分解として良いかと思います．

実用では，例えば電気回路等の設計で複素数を取り扱うことがあります．
このとき，複素数までの因数分解を行うこともありますが，そうすると
余計設計がややこしくなる場合もあって，そういうときは実数範囲での
因数分解でヨシとしています．つまり因数分解とは，設計や数の性質を
分かりやすくするために行うものなのです．

試験，がんばってくださいね．

I-love-manabee · Answer

>(s^2 + 2s + 2) 
>については，虚数を用いて因数分解することができまるよね． 
>(s+1+i) (s+1-i) 
>このように因数分解すると，さらに違った答えになるんで 
>はないでしょうか． 
>申し訳ないですが教えて頂けないでしょうか
これに回答いたしますと
このようには因数分解しません。
理由といたしまして
これは微分方程式をラプラス変換で書きなおして
ラプラス変換→逆ラプラス変換で解く過程での作業だと思うのですが
逆ラプラス変換表を見ればわかると思いますが
(そこまで複雑な式にする必要はありません)
わざわざ解けない方法に式を誘導する必要はないと思いますし
この場合ですと、
F(s) = a/s + (bs + c)/(s+1+i) (s+1-i)
で
例えａ，ｂ，ｃが求まったとしても
逆ラプラス変換できません。
それは、逆ラプラス変換表を見てください。一目瞭然です。・・

roro02 · Answer

例えば、
　2 / s(s^2 + 2s + 2) =1/ｓ - (s+2)/(s^2+2s+2)
となります。

部分分数分解のやり方ですが、まず分解したい分数の分母を因数分解します。これができないとできないと考えてよいでしょう。

例として
　1/F(x)G(x)
のように分解できたとしたら、展開する候補としては
　f(x)/F(x) + g(x)/G(x)
のような形になります。ここでfとgはそれぞれFとGより次数が低い整式です。
このような形にできたら、あとは
　1/F(x)G(x) = f(x)/F(x) + g(x)/G(x)
の恒等式から係数比較してfとgを求めれば完成です。

部分分数展開をする問題なのですが．．．

(1) F(s) = 2 / s(s^2 + 2s + 2)

この回答への補足

☆補足回答☆

す，すみません・・・とんでもない勘違いをしておりました．

＞の部分も虚数を用いて因数分解することができまるよね．

>(s^2 + 2s + 2)

例えば、

この回答への補足

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(1)　　F(s) = 2 / s(s^2 + 2s + 2)