確率密度関数の縦軸Ｙ

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質問者：good23
質問日時：2007/06/06 10:56
回答数：3件

まず、確率分布表があって、Ｘ軸に離散的な数値が並んでいます。

つぎに、Ｘ軸が連続的な形の確率密度関数があります。この関数の曲線とＸ軸との間に挟まれる部分の面積が、確率Ｐであると本に書いてあります。この場合、曲線なので、面積の求め方は、積分を使うようです。

ところで、確率密度関数の縦軸Ｙは、この場合、何でしょうか？
横軸Ｘ軸は、確率をもって現れる変数（確率変数）であるようですが、縦軸って何でしょう？

統計ど素人

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回答 (3件)

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No.2ベストアンサー

回答者： info22
回答日時：2007/06/06 13:15

＞確率密度関数の縦軸Ｙは、この場合、何でしょうか？

縦軸は確率密度f(x)で、どの位の頻度で確率変数X＝xが発生するかを表す量です。f(x)をa～bを積分すれば、Xがa～bの範囲に入る確率P(a≦X≦b)＝F(b)-F(a)になります。

なお、確率密度と確率分布の関係を正しく認識していただくために簡単に説明しておきます。

確率分布関数F(x)と確率密度関数f(x)の間には
f(x)＝dF(x)/dx
F(x)＝∫_[-∞→x]　f(x)dx　（これは単調増加関数です）
の関係にあります。
xは確率変数で次式が成り立ちます。
F(∞)＝∫_[-∞→∞]　f(x)dx＝1
y=f(x)とX軸で挟まれる部分の面積は１ということです。

確率変数Xがa≦X≦bをとる確率Pが次式で与えられます。
P(a≦X≦b)＝∫_[a→b]f(x)dx＝F(b)-F(a)
確率分布表の確率変数X=aと確率F(a)の関係は
F(a)＝∫_[-∞→a]　f(x)dx
です。

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No.3

回答者： Ishiwara
回答日時：2007/06/09 07:46

離散分布では、縦軸は、確率そのものですから、無次元ですよね。

連続分布では、面積が確率で無次元ですから、縦軸は、横軸の逆数の次元を持ちます。もし横軸が品物の長さで、単位ｍｍであれば、縦軸は「1/ｍｍ」を単位とする値を示します。

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No.1

回答者： adinat
回答日時：2007/06/06 11:37

縦軸=(確率)密度=(無限小)単位あたりの確率=分布関数の導関数=分布関数の変動率

要は
P(a≦X≦b)=∫_{a→b}f(x)dx
を満たす関数だ、ということです。測度論的には、確率測度のルベーグ測度に関するラドニコディム微分です。

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とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか？

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Aベストアンサー

＞　平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
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＞　μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
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＞　f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}
＞　が答えだと思っているのですが
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＞　それとは別のやり方で
＞　f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
＞　f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。
上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。
案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。
f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}
g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}
h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt
　　= 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt
　　epx( ) の指数部を t で平方完成して
　　= 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt
　　= 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt
　　= 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) }
　　（∵ ∫ exp ( - (t - A)^2 / 2B^2 ) dt = √(2π) B ）
μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば
h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 )
途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。

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数式エディタのヘルプで、『上付きバー』を検索すれば入力方法が分かると思います。

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参考URL：http://www.fwindows.com/tips/tips010608.htm

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わかりやすく教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
　調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
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　また、統計上差を出すのに必要なサンプル数の例では、Ａ国とＢ国のそれぞれの成人男子の身長サンプルがともに正規分布、または正規分布と仮定した場合に「ｔ検定」という検定手法で検定することができますが、このときにはその分布を差がないのにあると間違える確率と、差があるのにないと間違える確率の許容値を自分で決めた上で、そのサンプルの分布の値のばらつき具合から、計算して求めることができます。ただし、その計算は、現実に集めたそれぞれのサンプル間で生じた平均値の差や分布のばらつき具合(分散値)、どのくらいの程度で判定を間違える可能性がどこまで許されるかなどの条件から、サンプル間で差があると認められるために必要なサンプル数ですから、まったく同じデータを集めた場合でない限り、計算上算出された(差を出すために)必要なサンプル数だけサンプルデータを集めれば、差があると判定されます(すなわち、サンプルを無制限に集めることができれば、だいたい差が出るという判定となる)。よって、集めるサンプルの種類により、計算上出された(差を出すために)必要なサンプル数が現実的に妥当なものか、そうでないのかを、最終的には人間が判断することになります。

　具体的に例示してみましょう。
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> どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断・・・
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　ただ、経験則上指標的なものはあります。正規分布を示すサンプルなら、20～30のサンプル数があれば検定上差し支えない(それ以下でも問題ない場合もある)とか、正規分布でないサンプルは最低６～８のサンプル数が必要とか、厳密さを要求される調査であれば50くらいのサンプル数が必要であろうとかです。でも、あくまでも指標です。