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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
このような余りの問題は、整数nを割る数に対して場合分けして考えるといいですよ。
1) mを整数とすると、整数nは次の3通りに場合分けできます。
n=3m、3m+1、3m+2
そして、このそれぞれに場合について、求める数を割る数3で整理してみます。
a)n=3mのとき
n^2=9m^2 ⇒ n^2は3の倍数なので、余りは0
b)n=3m+1のとき
n^2=(3m+1)^2=9m^2+6m+1=3(3m^2+2m)+1
⇒ n^2を3で割った余りは1
c)n=3m+2のとき
n^2=(3m+2)^2=9m^2+12m+4=3(3m^2+4m+1)+1
⇒ n^2を3で割った余りは1
以上のことから、n^2を3で割った余りは、0か1となります。
2)nと次の5通りに場合分けします。
n=5m、5m+1、5m+2、5m+3、5m+4
a)n=5mのとき
n^2+n+1=25m^2+5m+1=5(5m^2+m)+1
⇒ 5で割った余りは1で割り切れない
b)n=5m+1のとき
n^2+n+1=(5m+1)^2+(5m+1)+1=25m^2+10m+1+5m+1+1=5(5m^2+3m)+3
⇒ 5で割った余りは3で割り切れない
c)n=5m+2のとき
n^2+n+1=(5m+2)^2+(5m+2)+1=25m^2+20m+4+5m+2+1=5(5m^2+5m+1)+2
⇒ 5で割った余りは2で割り切れない
d)n=5m+3のとき
n^2+n+1=(5m+3)^2+(5m+3)+1=25m^2+30m+9+5m+3+1=5(5m^2+7m+2)+3
⇒ 5で割った余りは3で割り切れない
e)n=5m+4のとき
n^2+n+1=(5m+4)^2+(5m+4)+1=25m^2+40m+9+5m+4+1=5(5m^2+9m+2)+4
⇒ 5で割った余りは4で割り切れない
以上のことから、nがどのような整数であっても5で割り切れないということが示されます。
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