表面積を最小にする炒飯の盛り方を教えてください

先日炒飯を作ったあとしばらく放っていたら、すっかり冷めてしまいました。
そこで、表面積を小さい盛り付け方にすれば熱が奪われにくいと考え
早速紙とペンを取り出したのですが、当方高校数学の知識をすっかり忘れてしまっており式が立てられません。直方体の最小表面積を計算するのがやっとで、すぐにお手上げ状態になってしまいました。
どのような形状のとき、炒飯は表面積を最小にできるのでしょうか？

条件は
・空気と接する表面積を最小にする(皿に接地する部分の面積は考えない)
・炒飯の形状は問わない(例えば煙突型など、実際の炒飯では不可能なものでもOKとします)
・皿は無限平面とする
以上です。
くだらない質問かもしれませんが、よろしくお願いします。

No.5 回答者： YHU00444 回答日時： 2007/06/25 09:38

この問題の答えは皆さんの言うとおり「半球」なんですが、これを理解するには微分幾何（という名前のツール）が必要です。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/tayo …
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/sabo …

とりあえず、曲面の微分幾何については以下の本をお勧めします。

「曲線と曲面（梅原雅顕・山田光太郎 共著）」
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1531 …
「曲線と曲面の微分幾何（小林昭七 著）」
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853- …
↓の微分幾何学の本の項
http://www.math.hokudai.ac.jp/~furuhata/ed/book. …

p.s.実は出前講座もあるらしい（↓の「小磯　深幸」を検索）
http://www.nara-wu.ac.jp/rigaku/ShucchoKougi/ind …
http://www.math.nara-wu.ac.jp/personal/koiso/koi …

No.4 回答者： AliceinWL 回答日時： 2007/06/24 06:28

＃２のdebutさんの半球説に賛成します。

シャボン玉が球形になるのは石鹸水の表面張力によって、吹き込まれた一定の空気の体積を維持しながら最小の表面積(膜の総面積)になっています。
お皿の上でシャボン玉を作れば半球になりますね。

No.3 回答者： neko-tama 回答日時： 2007/06/24 05:10

数学的な考えは、他の人にお任せして・・・

条件に皿は1枚だけ（複数使ってもいい、ともないですが）
2枚の皿で挟めば、表面積は最小になるのでは・・・
まぁ実際にもラップをしますし。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2007/06/24 04:22

体積が一定なら球が一番表面積が小さくなるらしいので、

半径ｒの球の体積をＶとします。
Ｖ＝(4πr^3)/3、表面積は４πr^2となります。しかし、皿に
接するかどうかのギリギリで宙に浮いた状態。

で、皿に接してもいいので、よくあるような半球で盛った
ときはどうか？とみてみれば、半球の半径をＲとすれば
体積Ｖ＝(2πR^3)/3で、これが(4πr^3)/3に等しいから
R=r*2^(1/3)となり、半球の球面だけの表面積の式2πR^2
に入れて、表面積は2πr^2*2^(2/3)=4πr^2*2^(-1/3)。
よって球のときの表面積4πr^2と比べれば、半球の表面積
は球のそれの2^(-1/3)倍（およそ0.79倍）です。
半球状態が小さい感じですが・・・わかりません。

ついでに立方体にしてみたら、面は５つで計算すると
球表面積の(125/36π)^(1/3)倍（およそ1.03倍）でした。

No.1 回答者： YHU00444 回答日時： 2007/06/24 03:58

熱の問題をまじめに考えると結構面倒ではあるのですが（対流・伝導・放射の影響を比較考量する必要がある）、あくまで問題の条件を満たすものを求めるとすると、単純に半球が答えになりそうな感じです。

ちなみにこれは「変分法」を用いて導出できます。（ただし、今回の問題では境界条件があるので多少その辺の説明が必要）
※といっても、とりあえず皿の平面をz=0として、鏡像対称な図形とセットで表面積最小を考えれば題意を満たせることを言えばOKだと思う。

p.s.変分法についてはコチラをご覧ください↓
http://okwave.jp/qa2509269.html