積分、傘型分割の原理

ｙ＝ｘ＾２とｙ＝ｘで囲まれた部分をｙ＝ｘを中心に１回転した立体の体積をもとめる。
参考書の解説に、２本の線分ｘ、ｘ＋ｄｘで区切られた部分をｙ＝ｘを中心に回転してできる立体が微小体積である。それを（ｘ、ｘ＾２）を通り、ｙ＝ｘに平行に区切った平行四辺形が回転してできる傘のような形に近似する。★そしてその傘は右下の図のように、全体から同じ円錐を引いた残り同士によって円柱に等しくなる。とあるのですが、★の部分でどうやって円柱に等しくなるのかが考えてもわかりません。教えてください。上述の円錐の高さが平行四辺形の一辺√２ｄｘに等しくなければこういう結果にはならないはずなのですが、円錐の高さは√２ｄｘにはならないように思います。どういう原理になっているのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/26 14:37

左の図を見れば, 斜線部の立体が

「円柱+円錐」から円錐をくりぬいたもの
であることは分からないかな?

この回答への補足

左の図を見れば, 斜線部の立体が
「円柱+円錐」から円錐をくりぬいたもの
であることは分からないかな?＞
全体の回転体（プリン型）から円錐をくりぬいたものが斜線部の立体というのはわかります。
そこからどう考えるのでしょうか?

補足日時：2014/06/26 14:42

この回答へのお礼

プリン型という表現はは間違えです、とにかく、等脚台形をｙ＝ｘを軸に回転させたものが全体で、そこから円錐をくりぬいたものが斜線部の立体です。そこから、どう集めると、円柱になるのでしょうか?

お礼日時：2014/06/26 14:53

No.2 回答者： hsst5nnm 回答日時： 2014/06/26 13:08

y=x　を軸にして回転するのですから二つの円錐はとうぜんY＝Xに沿って移動します。

そこに出来る円柱の側壁はx軸上でdxだけ動けば側壁の長さはの三平方の定理から(dx＾2+dx＾2)の平方根になります。
つまり2dx＾2の平方根は√2dｘになりますね。此れが高さになりませんか？
Y=Xを見落としていませんか？Y=Xと任意のXで出来る三角形は直角二等辺三角形ですよ。

この回答への補足

ごめんなさい、円柱の高さが√２ｄｘということはわかるのですが、平行四辺形の回転体を組み合わせたら円柱になるという部分がわからないのです。実力不足反省しております。

補足日時：2014/06/26 14:29

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/26 12:32

下の 2つの体積が同じってのは, 直感的には明らかでしょ? 右の円柱の中心部分をぐいっと右上に押し上げればいいだけだから.

で「円錐の高さは√２ｄｘにはならないように思」ったのはなぜ?

この回答への補足

直観的に明らかというのがなんとなくわかるのですが、もう少し詳しく教えていただきたいです。
平行四辺形から垂線を下ろして、三角形が出来ますが、その三角形の高さの部分は平行四辺形の１辺√２ｄｘに一致するとは限らないと考えました。

補足日時：2014/06/26 12:37