線形代数に強い方、共線関係とは？

３点が一直線上にある条件を考えています。

平面上にある３点
X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2])
が一直線上にある条件を「行列式」を用いて表すとどうなるのでしょうか？

３次元空間ににある３点
X(x[1],x[2],x[3]),Y(y[1],y[2],y[3]),Z(z[1],z[2],z[3])
が一直線上にある条件を「行列式」を用いて表すとどうなるのでしょうか？

４次元空間ににある３点
X(x[1],x[2],x[3],x[4]),Y(y[1],y[2],y[3],y[4]),Z(z[1],z[2],z[3],z[4])
が一直線上にある条件を「行列式」を用いて表すとどうなるのでしょうか？

ベクトルを使って、XY=kXZと表されることは知っています。そのkを消去した条件式を知りたいと思います。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/03 22:22

＃２です。

お礼を拝見しました。
２次元空間のところで些細な誤記がありますが、
それ以外は全く問題ありません。
たしかに、そのように変形するときれいな式になりますね。

そして、３次元空間の最後の条件の４つの式のうち、

>> |x[1] x[2] x[3]|
>> |y[1] y[2] y[3]|
>> |z[1] z[2] z[3]|=0

はなくてもＯＫです。残り３つの式で、

|y[1]-x[1] y[2]-x[2]|
|z[1]-x[1] z[2]-x[2]|=0
かつ
|y[1]-x[1] y[3]-x[3]|
|z[1]-x[1] z[3]-x[3]|=0
かつ
|y[2]-x[2] y[3]-x[3]|
|z[2]-x[2] z[3]-x[3]|=0

となりますから、私の回答の

　どのような i≠j を選んでも、
　　　| (x[2,i] - x[1,i])　(x[2,i] - x[1,i]) |
　　　| (x[2,j] - x[1,j])　(x[3,j] - x[1,j]) |
　が成り立つことである

に当てはまり、それ以上条件を付け加えなくても一直線上にあります。

また、幾何学的にいえば、３つの式によって表されているのは、
前後上下左右のどれから見ても
（x軸方向,y軸方向,z軸方向 のどれから見ても）
一直線上に見える、ということになります。

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/03 08:21

>２次元空間にある３点

>X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2]) が一直線上
>⇔
>|y[1]-x[1] y[2]-x[2]|
>|z[1]-x[1] y[2]-x[2]|=0

これです。行列式の変形は考えませんでした。


３次元空間にある３点
X(x[1],x[2],x[3]),Y(y[1],y[2],y[3]),Z(z[1],z[2],z[3])
が一直線上
⇔
|y[1]-x[1]　y[2]-x[2]　y[3]-x[3]|
|z[1]-x[1]　z[2]-x[2]　z[3]-x[3]|
|　　0　　　　　 0　　　　　 1　　|

もっと次元が増えたら、1 のところを単位行列にふくらませていくつもり.....、というという安直な発想です。
ちゃんと吟味しておらず、行列式の変形も考えてませんでした。

No.2 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/01 12:46

一直線上にある条件を表すのに、行列式はあまり向かないと思います。

以下、点を列ベクトル x↑ で表します。
似た問題ですが、

２次元空間にある３点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は
　| (x2↑ - x1↑)　(x3↑ - x1↑) | = 0
３次元空間にある４点 x1↑,x2↑,x3↑,x4↑ が同一平面上にある条件は
　| (x2↑ - x1↑)　(x3↑ - x1↑)　(x4↑ - x1↑) | = 0
４次元空間にある５点 x1↑,x2↑,x3↑,x4↑,x5↑ が同一３次元体上にある条件は
　| (x2↑ - x1↑)　(x3↑ - x2↑)　(x4↑ - x1↑)　(x5↑ - x1↑) | = 0

ということはいえます。
（３次元体という言葉はあまり適切ではないかもしれません。）

何次元空間でも「同一直線上」という条件にしたいのであれば、

２次元空間にある３点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は
　　　| (x2↑ - x1↑)　(x3↑ - x1↑) | = 0
３次元空間にある３点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は、
　どのようなベクトル x4↑ を選んでも
　　　| (x2↑ - x1↑)　(x3↑ - x1↑)　(x4↑ - x1↑) | = 0
　が成り立つことである
４次元空間にある３点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は、
　どのようなベクトル x4↑,x5↑ を選んでも
　　　| (x2↑ - x1↑)　(x3↑ - x2↑)　(x4↑ - x1↑)　(x5↑ - x1↑) | = 0
　が成り立つことである

という方法があります。

あるいは、

ｎ次元空間にある３点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は、
　どのような i≠j を選んでも、
　　　| (x[2,i] - x[1,i])　(x[2,i] - x[1,i]) |
　　　| (x[2,j] - x[1,j])　(x[3,j] - x[1,j]) |
　が成り立つことである

という表現もできます。

ｎ次正方行列の行列式で表す方法もあるかもしれませんが、
上の条件と本質的には同じものになりそうです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

２次元空間にある３点
X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2])
が一直線上
⇔
|y[1]-x[1] y[2]-x[2]|
|z[1]-x[1] y[2]-x[2]|=0
⇔
|x[1] x[2] 1|
|y[1] y[2] 1|=0
|z[1] z[2] 1|

３次元空間にある３点
X(x[1],x[2],x[3]),Y(y[1],y[2],y[3]),Z(z[1],z[2],z[3])
が一直線上
⇔
任意のW(w[1],w[2],w[3])に対して、
|x[1] x[2] x[3] 1|
|y[1] y[2] y[3] 1|
|z[1] z[2] z[3] 1|=0
|w[1] w[2] w[3] 1|
⇔
|x[1] x[2] x[3]|
|y[1] y[2] y[3]|
|z[1] z[2] z[3]|=0
かつ
|x[1] x[2] 1|
|y[1] y[2] 1|
|z[1] z[2] 1|=0
かつ
|x[1] x[3] 1|
|y[1] y[3] 1|
|z[1] z[3] 1|=0
かつ
|x[2] x[3] 1|
|y[2] y[3] 1|
|z[2] z[3] 1|=0

というようでよろしいでしょうか。。

お礼日時：2007/07/01 19:14

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/01 08:19

>平面上にある３点　X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2])　が一直線上にある条件を「行列式」を用いて表すとどうなるのでしょうか？

素描だけ。

二組の点差、たとえば X-Y, X-Z の座標成分から成る(2行2列)行列式 = 0 など。
行列サイズは、X などの次元に合わせる。
(未検証の conjecture ですが) 行列のあまったスペースには単位行列を埋め込んでおく。

チョイト乱暴ですかね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

２次元空間にある３点
X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2])
が一直線上
⇔
|y[1]-x[1] y[2]-x[2]|
|z[1]-x[1] y[2]-x[2]|=0
⇔
|x[1] x[2] 1|
|y[1] y[2] 1|=0
|z[1] z[2] 1|

３次元空間にある３点
X(x[1],x[2],x[3]),Y(y[1],y[2],y[3]),Z(z[1],z[2],z[3])
が一直線上
⇔
任意のW(w[1],w[2],w[3])に対して、
|x[1] x[2] x[3] 1|
|y[1] y[2] y[3] 1|
|z[1] z[2] z[3] 1|=0
|w[1] w[2] w[3] 1|
⇔
|x[1] x[2] x[3]|
|y[1] y[2] y[3]|
|z[1] z[2] z[3]|=0
かつ
|x[1] x[2] 1|
|y[1] y[2] 1|
|z[1] z[2] 1|=0
かつ
|x[1] x[3] 1|
|y[1] y[3] 1|
|z[1] z[3] 1|=0
かつ
|x[2] x[3] 1|
|y[2] y[3] 1|
|z[2] z[3] 1|=0

というようでよろしいでしょうか。。

お礼日時：2007/07/01 19:14