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解析学の基礎となっている高校数学の分野を教えてください。微分積分とその他に分けて答えていただけるとありがたいです。

ちなみに自分が調べた限りでは、微積の場合、
微分積分(II・IIIのもの)、三角関数、指数・対数関数、数列、数列の極限、関数の極限
です。微積以外の解析学については分かりませんでした。
ご回答お願いします。

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A 回答 (1件)

こんにちは、amcatさん。

微分積分の基礎に数列と極限があります。そこでは、上限、下限、有界など、集合と論理が高校数学で学習した内容です。大学の基礎教養の微分積分と線型代数のあとに、関数論、ベクトル解析、フーリエ級数、微分方程式などを勉強しますが、解析という書名や講義名ででてくる解析学の分野だと思います。岩波書店「解析概論」には、微分方程式以外は、ほとんど解析学の分野がでてきます。裳華房「基礎解析学」も、同じような分野が解説されています。関数論(複素関数)では、高校数学の複素数が基礎になっています。ベクトル解析では、ベクトルの微分積分ですから、高校数学のベクトルと微分積分が基礎になっています。フーリエ級数では、三角関数と、ベクトルの内積が基礎になっています。
微分積分以外の解析学は、教養の微分積分と線型代数を基礎にしているといえば、説明になっていませんね。高校数学と大学の数学のギャップに悩んだら、「理系への数学」「数学セミナー」など、数学雑誌を読んでみてください。岩波書店「現代数学への入門」全10巻なども、道案内になるでしょう。朝倉書店の数学30講シリーズ(志賀浩二著)もわかりやすい本です。
講義を担当している教員に質問すると、ていねいに教えてくれると思います。お励みください。
http://www.gensu.co.jp/index.html

参考URL:http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/index.htm
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
だいたい理解できました。微分方程式などはよく聞く言葉ですが、微分積分の延長上にあったんですね。
教えていただいた参考書なども図書館で探してみようと思います。

お礼日時:2007/07/11 22:08

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Q代数学とは。幾何学とは。

一口に言うと、代数や幾何はどのような学問でしょうか。
(代数というと中高校レベルの連立方程式を解いたり、線形代数などのことはおよそ知っています。また、幾何というとユークリッド幾何は昔やったことがあります。)

Aベストアンサー

代数学というのは,数の構造の本質を研究する学問です。
中学のときに文字式を習ったときのことを思い出して下さい。
負の数が登場して(-1)*(-1)がなぜ+1になるかを説明付ける
のに,交換法則や結合法則や分配法則を駆使しましたね。
また,高校で複素数を習ったときも,実数の四則演算が
(well-definedに)拡張できることを示しましたね。
あのような探求をとことん突き詰めた状況をイメージして
いただければよいでしょう。

幾何学とは,図形の本質を研究する学問です。
「図形と方程式」のように数式で図形を表現する代数幾何学,
微分積分を用いて図形量や性質をとらえる微分幾何学など,
いろんな道具を駆使して研究します。

ユークリッド幾何は初等幾何学に属します。ちなみに,
「初等」とは易しいという意味ではなくて,理論を駆使しない
という意味で,とらえようによっては難しいと言えます。

大学の数学も高校の数学と本質は全く同じですが,
高校までの数学は基礎の基礎なので,それだけでは
数学全体をイメージするのは難しいかも知れません。

代数学というのは,数の構造の本質を研究する学問です。
中学のときに文字式を習ったときのことを思い出して下さい。
負の数が登場して(-1)*(-1)がなぜ+1になるかを説明付ける
のに,交換法則や結合法則や分配法則を駆使しましたね。
また,高校で複素数を習ったときも,実数の四則演算が
(well-definedに)拡張できることを示しましたね。
あのような探求をとことん突き詰めた状況をイメージして
いただければよいでしょう。

幾何学とは,図形の本質を研究する学問です。
「図形と方程式」のように数...続きを読む

Q数学の3大分野、代数・幾何・解析

数学の3大分野は、代数・幾何・解析といわれると思います。

僕もそれには一応納得できますが、なんらかの違和感を持っています。

数学を表現するのに、記号や数学的文字や数式や論理式などを含む文字的側面と、図形的側面に大別されると思います。

それで、代数・幾何が対照的に思いますが、解析という分野の位置づけが僕にはあいまいなのです。

たとえば、別の何かと比較して、解析という分野の位置づけをとらえれないでしょうか?

Aベストアンサー

初等数学の「単元」をあげると、
「式の計算」「方程式」「関数」「平面図形」「空間図形」「確率・統計」
となります。

「式の計算」「方程式」が代数分野
「平面図形」「空間図形」が幾何分野です。

「関数」は広い意味では解析分野で
「確率・統計」は統計分野とくくったら良いでしょうか。

統計分野は数理的統計であっても、抽象化に限界がありますし、抽象化していくと、確率密度変数を扱う関数の研究が主命題になります。
ですから、わかりやすい分類としては、「代数・幾何・解析」とする考え方があるのでしょう。

ただ、あくまでこれは話をおおづかみにとらえるための方法であって、座標で図形を扱う解析幾何学では方程式が頻繁に出てきますし、微分積分に代数計算が必要であることは言うまでもありません。

しいて、「解析」の反対の概念をさがすなら、「解析しない数学」つまり、動かない数の世界である「算数」のことになるのではないでしょうか。

Q東大物理50↑をめざす!微積は必要?

 私は新年度めでたくお家で浪人が決まった受験生です。せっかく一年浪人することになったので、他の科目よりも興味がわいてきている物理を、来年はかっこよく高得点をとってみたい!と思い、無謀にも東大物理50点以上という目標を掲げました(笑)。
 巷では、公式物理と微積物理がありますが、そこで調べてみると、微積は大学入試には(東大でも)必要ない!微積の知識はかえって邪魔になるという意見と、そもそも物理は微積で扱うもので微積は裏技ではなく表技だ!だから使ったほうがいいに決まっている(特に難関志望は必須)という意見と、両方あって全く正反対なのでどっちなんじゃい!とわからないでいます。
 そこで、質問ですが
 ・結局、微積物理と公式物理どっちがいいか?
 ・東大模試成績優秀に名前が出るような人は微積を駆使しているのか?
 ・どちらの物理にしてもどういう勉強法や教材が東大物理50↑を目指すのにはよいか?

 等についてアドバイスをお願いします。なお、私は現役時代は勉強をサボってばっかいましたので(宅浪だけど今年はがんばる!つもりではいます)、参考書はエッセンスを数回通した程度、今年度東大物理は22点、というほどでしかないことを付け加えておきます。

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Aベストアンサー

使えるのであれば微積物理の方が良いです。
一応,東大模試成績優秀者に名前載りましたが、私は微積物理を習ってました。友達も載りましたが、その人も微積物理を習ってました。
微積の知識が邪魔になる というのはよくわかりません。(時間の無駄 ということ?)
でもとりあえず難関志望者は必須 というのは嘘です。一応難関大に入ってますが、周りの友達は大学の物理学でさんざん苦労してます(定数係数の1階線形微分方程式ですら解けない人も多い)。
微積を用いて物理を学べば、高校物理ではぐらかされている箇所がわかります。物理に対する見通しがよくなって、法則の使いどころを見誤ることがなくなると思います。

よく勘違いしてる人が多いですが、高校でいう微積物理は、微積分を駆使して物理を"解く"というスタンスではないでしょう。どちらかというと微積を使って物理を"学ぶ"というスタンスだと思えます。
高校で微積を積極的に使うと役に立つのは、まず、変位・速度・加速度が、要は同じ変数であることがわかること(初期値がわかってれば、時間的に微分/積分すればもとめられる)。
単振動(運動方程式)、キルヒホッフの微分方程式の一部を解けるようになる(簡単な微分方程式しか解けないので、一部です)。それで過渡応答まで知ることができて、時間的に解析可能になること。
ファラデーの法則、ガウスの法則をちゃんとした形で学べること。
くらいではないでしょうか。
ただ、ファラデーの法則の積分系を知っとくと有利な問題を、東大の過去問で見たことはありますが、知らなきゃ解けないレベルではなかったですし、有利ってほど得するものでもありません。ガウスの法則なんか、高校じゃ積分が使えないためにまともな問題が滅多に出ません。
そもそも、高校じゃマクスウェル方程式を全部やりませんし。

光と波動なんてヒドイものです。
マクスウェル方程式を全部やらないので、電磁気学が電磁波の話へとつながっていきません。本来、光は電磁気学に組み入れるべきものですが、つながりがわかりません。高校は干渉効果くらいしかやらないでしょう?
波動も同様に力学と関係するものですが、高校波動は、運動方程式すら書きません(たまにこれを狙った問題は出ますが)。数式で波動を書く練習をするだけです。

熱も第二法則(エントロピー増大)はやらないでしょう?まともにやるのはエネルギー保存則の第一法則くらいで、格別目新しいことはやりません。

こんな感じで高校生がやたら騒いでる微積物理なんて大したものではないですから(微積物理と騒いでる人たちもほとんどの人たちはやらないでしょう)、そんなに微積に心配にならずにちゃんと大学に入って学んでも良いと思います。微積物理も公式物理もやってることは変わりませんから、物理を"理解"することに努める方がいいと思います。
勉強は、きちんとした参考書を読んでから、問題演習をひたすらやるのがいいと思います。河合の『物理教室』,駿台の『新・物理入門』なんかは無難な参考書だと思います。

使えるのであれば微積物理の方が良いです。
一応,東大模試成績優秀者に名前載りましたが、私は微積物理を習ってました。友達も載りましたが、その人も微積物理を習ってました。
微積の知識が邪魔になる というのはよくわかりません。(時間の無駄 ということ?)
でもとりあえず難関志望者は必須 というのは嘘です。一応難関大に入ってますが、周りの友達は大学の物理学でさんざん苦労してます(定数係数の1階線形微分方程式ですら解けない人も多い)。
微積を用いて物理を学べば、高校物理ではぐらかされて...続きを読む

Q大学入試での微積をつかった物理の独学法を教えてください!

大学受験において、物理の微積分は制限されていますよね(数学のカリキュラム上)
そのせいで、私自身も微積分をつかわない物理を学習してきました
しかし、微積分をつかうことが物理の本質なのであるのなら少し手を出そうかな?と考えました

そこで質問です

・物理のエッセンス、名門の森、難系統をつかってきたのですが、微積分をつかうやりかたはどのくらいで覚えられますか?

・受験物理で戦力になるまでにどのくらいかかりますか?

・どのような本を読めばいいのですか?(田原の本と駿台の物理入門という本を聞いたことがありますが…)

・秋の駿台の東大模試で高得点をとれるように間に合いますか?


物理の本質を学びたいという気持ちもありますが、目先の問題も解決しなければいけないので、独学が不可能(or難しい)のであれば今のやり方を続けます

回答お願いします!!

Aベストアンサー

質問者様の希望する回答ではありませんが、自分自身の経験から一つアドバイスを。

正直、大学受験物理において微積の知識は一切必要ありません。すべての入試問題はすべて微積なしで解けます。もちろん東大の問題もです。
大学受験だけに話を限れば、微積の知識というのは逆に邪魔をする物だと思っています。

駿台の青本にあるような、微積を使ったまどろっこしい解答はとても嫌いでした。
いちいち物事を複雑にとらえてこんな計算をしなくてももっと簡単に解けるだろう、と受験生時代はよく思いましたね。
受験で出されている問題なんて限られているので、慣れてしまえばいちいち微分方程式を解くよりは微積を使わない解法の方が断然早いと思います。

が、物理をこの先やっていくならば当然通らねば行けない道なので、今からやっておくのも良いと思います。けれども、問題の解き方を根本的に(といったら少々大げさかもしれませんが)変えてしまうので慣れるまでもの凄く時間がかかってしまい得点源として使えなくなってしまうかもしれません。
他の教科の勉強が今の時点でもかなり完成していて余力があるのなら挑戦してみては如何でしょうか。

変に数に限りがある高校レベルの微積の本を読んで小手先だけの技術を身につけるよりは、大学レベルの簡単な本を読んだ方が良いと思いますが、大学の本を読むと受験とはまるで関係のない話が載っているので使えるかは・・・
大学レベルの力学の教科書ならば、他の分野よりも多少丁寧に微分方程式の解き方が載っているかと思います。


>・物理のエッセンス、名門の森、難系統をつかってきたのですが
と書いてあることから察するに、物理は微積なしのやり方で随分慣れてしまっているはずですので、尚更無理にやり方を変えなくても・・・と私は思いますけどね。

別に一年ぐらい先に微積をやっていたからといって、この先もの凄く差が出るわけではありません。
そんなもの大学の勉強に比べればとてもちっぽけな物です。
大学入学後、高校知識では解けなかった問題でも微積を使うことによって解ける楽しみを味わいつつ、勉強に励むのが良いのではないでしょうか。

少しでも参考になれば幸いです。

質問者様の希望する回答ではありませんが、自分自身の経験から一つアドバイスを。

正直、大学受験物理において微積の知識は一切必要ありません。すべての入試問題はすべて微積なしで解けます。もちろん東大の問題もです。
大学受験だけに話を限れば、微積の知識というのは逆に邪魔をする物だと思っています。

駿台の青本にあるような、微積を使ったまどろっこしい解答はとても嫌いでした。
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