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キッテル固体物理学入門の上巻の2章の演習問題の6番の詳しい解答を
知りたいのですが誰か教えてくれませんか?
お願い致します。

A 回答 (2件)

キッテルの演習問題の解答が載っている本がありますのでそちらを参考にしてみてはどうでしょう?


固体物理学演習~キッテルの理解を深めるために~
沼居貴陽著 丸善
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この回答へのお礼

ありがとうございました。参考にしてみたいと思います。

お礼日時:2007/07/14 01:46

問題文を書いてください。

この回答への補足

原子形状因子f=4π∫dr n(r) r2 sinGr/Gr   (rは二乗です)
において、電子密度n(r)=1/πa3 exp(-2r/a)   (aは三乗です)
のとき、形状因子はf=16/(4+G2a2)2 (数字の2は全て二乗です)
となることを示せ。

補足日時:2007/07/14 02:11
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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む

Qダイヤモンドの構造因子

ダイヤモンドの構造因子を求めると
f{1+exp(-πi(h+k))+exp(-πi(k+l))+exp(-πi(l+h))+exp((-πi/2)(h+k+l))+exp((-πi/2)(3h+3k+l))+exp((-πi/2)(3h+k+3l))+exp((-πi/2)(h+3k+3l))}
となったのですが、この構造因子が0になる指数がうまく求められません。どのように考えればよいでしょうか。

Aベストアンサー

面心立方の原子位置は

(0,0,0) (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2) (0, 1/2, 1/2)

これをベクトルでri (i=1-4)と書くことにします.

ダイアモンド格子はこの座標に(1/4,1/4,1/4)を加えた位置に同種原子を置くことで構成されます.そこで(1/4,1/4,1/4)をベクトルdと書くことにすると,追加した原子の位置ベクトルはd+ri (i=1-4).したがって,逆格子ベクトルをGとして構造因子は

S = f Σ[i=1-4] { e^{-2πi G・ri} + e^{-2πi G・(d+ri)}
= f (1 + e^{-2πi G・d} ) (Σ[i=1-4] e^{-2πi G・ri})
= (1 + e^{-2πi・(h+k+l)/4}) S(FCC)

従って消滅則はFCCの消滅則に加えて前の()が0になる条件として

2π(h+k+l)/4 = (2n+1)π 従って h+k+l = 4n+2

が追加になります.

Q水素原子の原子構造因子

電子密度がn(r)=(πa0^3)^(-1)exp(-2r/a0)のとき、構造因子は

∮4πr^2n(r)exp(-iGr)dr

で正しいですか?また正しい場合、計算のヒントをおしえていただけると助かります。

Aベストアンサー

正しくないです.
以下,ベクトルと大きさを区別する必要があるのでベクトルは↑で指定します.矢印のついていないものは大きさです.

方位角がG↑・r↑の内積に入っているのでこの分の積分が必要です.
ここでのr↑は考えている原子の原子核の位置を原点とする位置ベクトルで,r↑とG↑のなす角をθとすれば

G↑・r↑ = G r cosθ

したがって,密度分布関数を球対称と仮定して原子散乱因子を極座標で積分すれば

f = ∫n(r) e^{-i G r cosθ} r^2 sinθ drdθdφ

以下,θ,φについて積分を実行すると

f = ∫ n(r) r^2 [ sin Gr / Gr ]

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Qブリルアンゾーンについて

2次元で第四ブリルアンゾーンがどこを示すのかが分かりません。
http://sunatsubu.at.webry.info/201102/article_2.html
分かりずらくてすいません。回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正方格子における第1~第4ブリルアンゾーンを図に示します。

ブリルアンゾーンは原点と逆格子を結ぶ直線の垂直2等分線で囲まれた領域です。
逆格子点の番号は原点からの距離が近い順になっています。
第4ブリルアンゾーンは4番目に近い逆格子点と原点との直線の垂直2等分線で囲まれた領域ですので、図の緑色の部分となります。
言葉で説明するのは難しいので図から理解して頂くのが良いと思います。

ご期待に応える回答になっているかわかりませんが、参考までに。。。

Qラウエ条件とブラッグ条件

ラウエ条件からブラッグ条件を導出することについて躓いているので教えてください。

散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とするとラウエ条件は
(1) s・a = 2πn n∈整数
ですが、(1)の左辺の内積を書き換えると
(2) |s||a|cosθ = 2πn
となり、更に波数ベクトルを波長で表せば
(3) (2π/λ)|a|cosθ = 2πn
これを更に書き換えれば
(4) |a|cosθ = nλ
これがブラッグ条件に相当する、とX線回折の本には書いてあるのですが、ブラッグ条件は一般的に
(5) 2d sinθ = nλ
のようにサインの形で書かれておりどうやって一致させているのかが分からず困っております。
角度の取り方がラウエ条件を考察する際とブラッグ条件を考察する際に違うのでしょうか?教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

>散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
>とラウエ条件は
>(1) s・a = 2πn n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、sを「逆格子ベクトル」とし、dを結晶の位置ベクトルとすると
 s・d=2πn  (2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl)なる逆格子点に至るベクトルをs(hkl)とすると
  s(hkl)=△k  (3)
で表されます。ここでs(hkl)は
s(hkl)=ha* + kb* + lc*
で定義され、sは実格子の格子面(hkl)に垂直で大きさ|s|は(hkl)面の面間隔d(hkl)の逆数に等しいという性質をもっています(a*,b*,c*は逆格子ベクトル)。
いま、弾性散乱を仮定しますので
 |k1|=|k2|=|k|  (4)
とおけます。すると△kは(絵を書けばよく分かる)
 △k=2ksinθ  (5)
となります。波数ベクトルkはs方向を向いていますね。(3)より
 2ksinθ=s  (6)
両辺にベクトルdをかけると、(2)を使って  
 2kdsinθ=s・d=2πn  (7)
また、k=2π/λ であるから(7)は
 2(2π/λ)dsinθ=2πn
これから
 2dsinθ=nλ (8)
でいいと思いますが。

>散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
>とラウエ条件は
>(1) s・a = 2πn n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、sを「逆格子ベクトル」とし、dを結晶の位置ベクトルとすると
 s・d=2πn  (2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl)なる逆格子点に至るベクトルをs(hkl)とすると
  s(hkl)=△k  (3)
で表されます。ここでs(hkl)は
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Q固体物理の教科書

化学科の者ですが固体物理を勉強したいと考えています。
キッテルを使われる方が多いようですが、和訳自体が分かりにくいと聞きました。
入門としてまとめてあり分かりやすい教科書ありましたら教えてください。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

>キッテルを使われる方が多いようですが、和訳自体が分かりにくいと聞きました。

キッテル和訳の説明がわかりにくいと感じたことは
ないんですがねー・・・ いきなり読んだ人が
内容自体が難しいと感じたのを和訳のせいに
しただけではないでしょうか?

>入門としてまとめてあり分かりやすい教科書ありましたら教えてください。

 キッテルと同レベルという範囲なら
「フック・ホール固体物理学入門」<上><下>
をお勧めします。(参考URL)

 キッテルと同様に翻訳本で、上下巻に別れています。
参考までに目次を挙げておきます。
<上>
1 結晶構造
2 結晶の力学
3 金属の自由電子
4 周期格子ポテンシャルの効果
5 半導体
6 半導体素子
7 反磁性と常磁性
<下>
8 磁気秩序
9 絶縁体の電気的性質
10 超伝導
11 結晶の波
12 中性子と電子の散乱
13 実際の金属
14 低次元系

 この本の翻訳者の一人 福山 秀敏さんは
日本の固体物理の世界の権威者です。



 あと固体物理のどんな側面を勉強したいかに
よるのですが、
Peter Grosse著の
「電子物性の基礎」
(オーム社)
もお勧めです。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/detail/-/books/4274129586/contents/ref=cm_toc_more/250-5656008-1250654

 なおオーム社からは過去に同様の
タイトルの本が2,3冊出ていると
思いますが、これは1995年出版の
もので定価6600円とちょっとお高い
ものです。
参考までに目次を挙げておきます。

絶縁体・半導体・金属の比較
単原子の分極率と自由電子の生成
ドルーデ・ロレンツモデル
直流伝導度
特性衝突時間
温度・密度勾配の電流への影響
動的伝導度
固体中の電磁波の伝播
導体の光学的特性
伝導体の磁気光学特性
電子‐フォノンカップリング
付録 固体中の電磁波の伝播と測定

 この本も翻訳本ですが、翻訳者の一人
金原 粲さんは薄膜に関する名著を
出されていることでも有名です。
 上のフックホールさんのものと目次を
見比べていただくと分かると思うのですが、
結晶構造の理論、超電導、低次元の量子力学的
電気伝導(量子ホール効果)等、
固体物理のホットな話題の部分は抜かして
そのぶんドルーデ方程式といった古典的な
部分から固体の電気伝導を詳しく
説明しています。
 このドルーデの方程式なんですが、
現実の電気伝導モデルをあまりに
簡略化しすぎて考えているので、
実際の現象を説明できないのですが、
逆にこの方程式と測定結果のいろいろな
ズレを説明するために、いろいろな
理論が発展した経緯があり、そのあたり
から説明している点が非常に親切で
入門書的と思います。


 また量子力学はもとより、基本的な
概念からよくわからないので、
もっと基本からところから全体像を
ざっと掴みたいということでしたら、
少し読み物的なものとして

小出昭一郎 著
「物性のはなし」
(東京図書株式会社)
定価1300円
がお勧めです。

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4489002327/qid=1063433214/sr=1-4/ref=sr_1_0_4/250-5656008-1250654#product-details

 原子のしくみから超伝導の原理まで
というサブタイトルがついており、
固体物性の基本から応用まで、
全体像がザックリと把握できて
非常にいいです。

参考URL:http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4621049631/qid=1063430455/sr=1-6/ref=sr_1_2_6/250-5656008-1250654

>キッテルを使われる方が多いようですが、和訳自体が分かりにくいと聞きました。

キッテル和訳の説明がわかりにくいと感じたことは
ないんですがねー・・・ いきなり読んだ人が
内容自体が難しいと感じたのを和訳のせいに
しただけではないでしょうか?

>入門としてまとめてあり分かりやすい教科書ありましたら教えてください。

 キッテルと同レベルという範囲なら
「フック・ホール固体物理学入門」<上><下>
をお勧めします。(参考URL)

 キッテルと同様に翻訳本で、上下巻に別れてい...続きを読む

Qミラー指数:面間隔dを求める式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2)

となる。

なぜこうなるのか証明せよといわれたのですが
どうやってすればよいでしょうか?
2次元で考えると簡単だと聞いたのですが…。

Aベストアンサー

高校の知識しか使ってないと思いますが、、、基本並進ベクトルや逆格子ベクトルがまずかったですか?ミラー指数の定義を知っていれば当然知っていると思ったのですが。三平方の定理では中学生の知識ですよね。まあ良いです。一般的な証明にはならなくなりますが、平面で三平方の定理のみを使って証明してみます。

平面の場合、(hkl)面は(na/h,0)、(0,na/k)を通る直線に対応すると思います。n=0の場合とn=1の場合の直線間の距離を求めてみます。

n=1の場合の直線(直線1とします)は(a/h,0)と(0,a/k)を通る直線でn=0の場合の直線は原点を通り、直線1と平行な直線になります。2つの直線の距離は原点と直線1との距離で求められます。

平面上に原点O、点A(a/h,0)、点B(0,a/k)の3点を書いてみましょう。原点と直線ABとの距離dは原点から直線ABに下ろした垂線の足を点Hとして、OHで求められます。

三角形OABは直角三角形なので、
OA・OB=AB・OH
より、
d=OH=OA・OB/AB=(a/h・a/k)/√((a/h)^2+(a/k)^2)=a/√(h^2+k^2)
となります。

これでよいでしょうか?

書いていて気づいたのですが、これが課題やレポートのテーマであった場合、回答するのは規約違反になるんですね。

高校の知識しか使ってないと思いますが、、、基本並進ベクトルや逆格子ベクトルがまずかったですか?ミラー指数の定義を知っていれば当然知っていると思ったのですが。三平方の定理では中学生の知識ですよね。まあ良いです。一般的な証明にはならなくなりますが、平面で三平方の定理のみを使って証明してみます。

平面の場合、(hkl)面は(na/h,0)、(0,na/k)を通る直線に対応すると思います。n=0の場合とn=1の場合の直線間の距離を求めてみます。

n=1の場合の直線(直線1とします)は(a/h,0)と(0,a/k)を通る直...続きを読む

Q面心立方と体心立方の逆格子

固体物理の勉強をしています。
体心立方構造の(hkl)面の逆格子点 g*=ha* + kb* + lc*を逆空間で描くと面心立方構造になるらしいのですが、理由がわかりません。
分かる方いましたら、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

単純な計算だけで分かります。
体心立方格子のユニットベクトルは
a1=(-a/2,a/2,a/2), a2=(a/2,-a/2,a/2), a3=(a/2,a/2,-a/2)
です。aは格子定数です。
逆格子ベクトルは b1=2π(a2x a3)/(a1(a2xa3)) などですから、単純に計算すれば
b1=2π/a(0,1,1) , b2=2π/a(1,0,1), b3=2π/a(1,1,0)
となり、これは面心立方格子のユニットベクトルです。


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