No.2ベストアンサー
- 回答日時:
おぉっ、補足してくれたのですね。
まず、直感的な理解になりますが、f(x)=1/(1+x^2) ってのは、
x=0で最大値1をとり、全域で正で、±∞付近では0に漸近する、とてもなだらかな曲線ですよね。
そして、その傾きは、一番きついところでも±1を超えないわけです。
ということは、一様連続なのは「直感的には明らか」ですね。
あとは、それをε-δで書き下せばよいわけですね。
このとき、εに対応するδの選択が面倒なわけですが、上記のような直感的な理解を助けとすれば「傾きの最大は1を超えない」→「f(x)=xと同程度のδを選べばよい」
→「existδ=εとすればよい」と回答の方針を決定できます。
あとは、ご存知のとおり、
|1/(1+x1^2)-1/(1+x2^2)|<εを示せばよいのですが、あいにくゴリゴリ計算する時間が今ないので、後で(後日?)、時間がとれたら、変形を書き下したいとおもいます。
あるいは、f’(1次導関数)の絶対値の最大値(多分1以下です)を求めれば直接的な変形をしなくても、
|f(x1)-f(x2)/(x1-x2)|<1が全域で示せるので
そのほうが容易かもしれません。
No.3
- 回答日時:
(下ごしらえ)
g(x)=|2(x+1)/(1+x^2)^2|は、x→±∞で、g→+0なので、R上最大値を持ち、その最大値をMとする。
(証明)
∀εに対し、δ=ε/Mとおけば、
|x1-x2|<min(δ、1)のとき、 (x1<x2と置いても一般性を失わず、x2=x1+tとするとt<1)
|f(x1)-f(x2)|
=|(x1+x2)(x1-x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)|
=|x1-x2|*|(x1+x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)|
<|x1-x2|*|(x1+x2)/(1+x1^2)^2|
=|x1-x2|*|(2x1+t)/(1+x1^2)^2|
<|x1-x2|*|(2x1+1)/(1+x1^2)^2|
<δ*M=ε
//
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 離婚・親族 不倫をしました。相手が離婚に同意していないなら養育費の話にはなりませんか? 5 2022/05/06 15:10
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ぶすですか?
-
幽霊が存在していないことを証...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
証明終了の記号。
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
高校一年生です。 私はどうして...
-
素数の性質
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
ピタゴラスの定理は辺の長さが...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
自然数aに対し、a+1は互いに素...
-
『数学的帰納法のトリセツ』
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
親の再婚相手との問題です。私...
-
再婚、奨学金
-
非該当証明書と該非判定書とい...
-
オイラー定数の無理数性
-
分かる方教えてください。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
証明終了の記号。
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
幽霊が存在していないことを証...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
rankに関する証明問題です。
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
一様連続の証明
-
素数の性質
-
中3数学 2つの続いた整数では、...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
スカラー場とベクトル場
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
一様連続 e^x 証明
おすすめ情報