平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。4点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにA(x,y),
B(x+Δx,y),C(x,y+Δy),D(x+Δx,y+Δy)。(つまり、AB=DC=Δx,DA=CB=Δyの微笑長方形)
経路A→B→Cに沿った仕事をW(1),経路A→D→Cに沿った仕事をW(2)と呼ぶこととする。
学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、62ページを見てください。上のAがPのことで、CがP'のことです。
W(1)=Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y) ←(1)
=FxΔx+FyΔy+(Fyをxで偏微分)ΔxΔy ←(2)
W(2)=Fy(x,y)Δy+Fx(x,y+Δy)Δx ←(3)
=FxΔx+FyΔy+(Fxをyで偏微分)ΔxΔy ←(4)
ここでFx(x,y)は、(x,y)におけるx方向の力を表している(Fxはx方向の力)のだとおもいます・・・。教科書に明記はないです。違ったらスイマセン
高次の微少量は無視した・・・らしいです。
W(1)-W(2)={(Fyをxで偏微分)-(Fxをyで偏微分)}ΔxΔy であり
この力が保存力であれば、W(1)=W(2)となることから、
(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分) が導かれる。
逆に(Fyをxで偏微分)=(Fxをyで偏微分)が保存力になる条件である。
という流れなんですが、上の(1)(2)(3)(4)で
(1)と(3)は解っているつもりなんですが、(1)をどう計算すれば(2)になるのか、(3)をどう計算すれば(4)になるのかがサッパリわかりません。
先生がここ飛ばしちゃったから、自分で理解しなくちゃいけなくなったのですが、もう何も浮かばなくて・・・(汗)
皆さんの頭脳に期待しています。助けてください。
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