無効電力と蓄積エネルギーの関係

いつも参考にさせていただいております。
無効電力は，コイル・コンデンサなどで磁気・静電エネルギーとして蓄積され，電源側に戻される電力だと習いました。式の上では理解していたのですが，コイルに蓄積される磁気エネルギーの式との対応がつかず悩んでおります。（コンデンサにおける静電エネルギーでも同様です）

簡単のため，交流電源にコイルLを接続した場合について考えます。
無効電力 Q= |V|^2/Z =　-V^2/(\omega L) です。
一方，Lに蓄積される平均エネルギーは　W= 1/2 L |I|^2 = V^2/(2\omega^2 L) となります。　(V,Iは実効値です）
つまり　W=-2\omega Q　の関係があるようにみえます。
この式の表す物理的な意味は何なのでしょうか？
電力とエネルギーの関係で　2\omega という時間でない単位が出てくるもの気持ちが悪いです。
なにか決定的な勘違いをしていたらすみません。

No.8 回答者： kiyos06 回答日時： 2007/11/20 11:55

無効電力Qは単位時間あたりのエネルギー回転量(移動量)です。

インダクタンスLのコイルの電流をiとして、それが周波数fで回転しているとすると,その単位時間あたりのエネルギー回転量は、ラジアン基準で(1/f周期で2πラジアン回転すると)考えると以下の式となる。
(1/2)L*i^2 * 2πf
正弦波の交流で最大電流imaxの回転量を考えると、無効電力は下式となる。
Q=πfL*imax^2
実効値をIとすると、I=imax/SQRT(2)
Q=(2πfLI)*I

コンデンサも同様に考えることができます。

物理的イメージについては、参考URLを参照してください。(スクリューのところは雰囲気をつかめると思います。)

No.7 回答者： ringouri 回答日時： 2007/08/19 09:55

無効電力の大きさを一定と考えて「１周期分は　T/2 ，よって，　W= - QT/2 になるかと思う」と考えるのが間違っています。

無効電力の大きさ（虚数単位は無視して）は、V^2/(ωL)あるいはI^2・ωLを振幅として角周波数2ωで正弦波状に変化しているのですから、瞬時電力から蓄積エネルギーを求めるには積分しなければなりません。それをあたかもV^2/(ωL)あるいはI^2・ωLの一定の電力（DCの電力）と錯覚し、QにT/2を掛けてエネルギーとする計算式がナンセンスです。

瞬時無効電力　I^2・ωL・sin（2ωｔ）を積分すれば瞬時蓄積エネルギーが　(1/2)LI^2（1-cos2ωt）となり、平均蓄積エネルギーは(1/2)LI^2となって、何も矛盾しません。

他の回答者も指摘しておられるとおり、ωが出てくるのは、正弦波の関数を積分[瞬時電力→瞬時エネルギー]（あるいは逆に微分[瞬時エネルギー→瞬時電力]）しているからです。　

No.6 回答者： foobar 回答日時： 2007/08/18 19:32

関係式の係数に2πがかかる理由

sin()の周期がT/2πになっているところからπが係数に含まれるようになるかと思います。
（同様の理由の2πは、時定数と周期や周波数の関係などで、時々現れてきます。）

No.5 回答者： printempsk 回答日時： 2007/08/18 10:01

No.2です。

もし的を射てなかったり理解できなかったらスルーしてください。

No.2の回答にも誤解を生むような表現があったのですが、
W= 1/2 L |I|^2というのはコイルに電流Iが流れているときの蓄えられている全電力です。なので積分すれば全蓄積電力が求まるというものではありません。そもそも平均蓄積電力が0でなかったらコイルには無限の電力を蓄えられることになってしまい明らかにおかしいと思います。
瞬時瞬時の負荷に移動する電力(抵抗で消費される電力と蓄積される電力。ここでは抵抗で消費される分は考えない)はviで表されます。これを積分することにより蓄積される電力を求めることができます。。
例えば、電圧源にコイルを接続した回路を考えます。ここで、i=(V0/ωL)sinωt、v=V0cosωtです。よってvi=(V0^2/2ωL)sin2ωtこれが瞬時瞬時に負荷に移動する電力です。これを積分することによりコイルに蓄えられた電力Qを求めることができます。ここでt=π/2ωとするとW= 1/2 L |I|^2=V0^2/2ω^2L、Q=viのt=π/2ωまでの積分=V0^2/2ω^2Lとなり一致することがわかります。
では無効電力とはなにかというと、このviのうちの一周期積分すれば0になってしまう、移動するだけのような電力の振幅(ここではV0^2/2ωL)のことを表していると思います。コイルだけだとわかりづらいかもしれないので抵抗も含めた場合も考えてみてください。

No.4 回答者： Denkigishi 回答日時： 2007/08/17 21:29

ＮＯ３の記載にミスがありました。

最後の文章は消去します。

No.3 回答者： Denkigishi 回答日時： 2007/08/17 21:03

ＮＯ１です。

蛇足ですが、計算するときの注意事項を補足しておきます。
正弦波を含む関数を積分する場合、目的によって積分範囲を変える必要があります。ＬやＣに保存されるエネルギーは１周期でゼロに戻ります。１周期を積分して得られる正数値は往復（コンデンサなら充電＋放電）の合計値すなわちダブルカウントしたことになるので、積分範囲は半周期にします。また、単純に積分すると平均値すなわち直流成分となります。実効値を求めるには計算式が違います。

No.2 回答者： printempsk 回答日時： 2007/08/17 11:37

無効電力というのはコイルに蓄積、放出される電力の振幅です。

ここで比較するのはコイルに蓄積される平均電力ではなくコイルに蓄積される瞬時瞬時の電力です。そもそもコイルのエネルギーは蓄積、放出を繰り返すので蓄積される平均電力は0になると思います。なのでW= 1/2 L |I|^2 とはならないんじゃないかと…

この回答へのお礼

ありがとうございます。
質問に不十分な点がある上，誤りがあり申し訳ございません。
W はコイルに蓄積される平均エネルギーのことをいっております。
電力・・・単位時間あたりのエネルギーの移動
エネルギー・・　電力×時間
だとの理解に基づき，
W と　Q　の関係は，瞬時エネルギーの周期(電流・電圧がTならば
T/2 となる）が項として現れると考えております
質問の式は間違っておりましたが，ANo.1さんのご指摘により　T/(2\pi)
が現れたことで，新たな疑問が生じております。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/17 17:05

No.1 回答者： Denkigishi 回答日時： 2007/08/17 10:18

私の計算では、最後の式は、Ｗ＝－ｊＱ／２ω　となりました。

ω＝２πｆ＝２π／Ｔを代入すると、Ｗ＝－ｊＱＴ／２π　となります。（Ｔは周期[s］）　次元に矛盾はありません。式の意味は、多分、リアクトルの保存エネルギーの周期的変動と無効電力の関係を示すものと思います。再確認をお願いします。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。
まったくおっしゃる通りです。すみません。
いろいろ計算しているうちに混乱しておりました。しかし
Ｗ＝－ｊＱＴ／２π　
であったとしても，依然として疑問は残ります。

コイルに蓄積される瞬時エネルギー w は
w=1/2 L i^2 です。(i は瞬時電流）
iが 正弦波 \sqrt(2)Icos(^omega t + \theta) だとすると
w=1/2 L I^2(cos(2\omega t+2\theta)+1)　です。

さらに，その１周期分の時間平均をとると
W=1/2 L I^2 がでてきます。

電力は単位時間あたりのエネルギーの移動量ですから
単純に無効電力×１周期分が，平均蓄積エネルギーになる
ように思えます。wの式からわかる通り，2\omega の
周波数でエネルギーは周期変動をしているので，１
周期分は　T/2 ，よって，　W= - QT/2 になるかと
思うのですが・・・なぜ　\pi が分母に現れるのか不思議です。

お礼日時：2007/08/17 16:56