共鳴、共振について。

ある参考書を見たり、解いてたりしていたら、
「弦の共鳴、共振はλ/2間隔で両端が節となる定常波ができたとき、弦の長さがλ/2の整数倍に等しいときにおきる」と記述されています。
すこし調べてみたら、弦だけでなく気柱の閉管、開管のどちらでも同じようにλ/2ごとにおきるみたいなんですが、
閉管では、底は節、口は腹、一方開管の方はどちらも腹といろいろと条件は異なるみたいなんですが、なぜどれもλ/2ごとに共鳴が起きるんですか？

自分がわかる、調べたことは、腹と腹、節と節がλ/2ということと、閉管、開管では腹と節が異なるぐらいです。

λ/2ごとに腹、節などの条件が違うのに弦、閉管、開管ではλ/2ごとに共鳴共振が起こるのか解説をお願いできませんか。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/19 04:26

こんばんは。

図が書けないので、文字でやってみますね。

まず、弦の場合は両端が固定で節ですよね。
すると共振の条件は、左端から右端にかけて、

節、腹、節　⇒　L = λ/2
節、腹、節、腹、節　⇒　L = 2・λ/2
節、腹、節、腹、節、腹、節　⇒　L = 3・λ/2
節、腹、節、腹、節、腹、節、腹、節　⇒　L = 4・λ/2
・・・・・
（Lは弦の長さ。）

ということで、λ/2 ずつ増えるようになっています。
これを満たすような、λで共振するわけですね。
（Lはもちろん一定なので、共振するλが無数にあるということです。）

ところで、これが弦でなくて、片方が閉じている管なら、左端を閉じているほうとして、節なのは変わりなく、右端の条件が、腹になるから、上の一覧表で、右端の「節」だけを削除して、共鳴するのは、

節、腹　⇒　L = λ/4
節、腹、節、腹　⇒　L = λ/4 + λ/2
節、腹、節、腹、節、腹　⇒　L = λ/4 + 2・λ/2
節、腹、節、腹、節、腹、節、腹　⇒　L = λ/4 + 3・λ/2
・・・・・
（Lは管の長さ。）

ということで最初のところは λ/4 ですが、その後 λ/2 ずつ増えることには変わりないですね。（本当は開口端補正というのがあって、最初のλ/4 が少しずれますが、やはりλ/2 ずつ増えることは変わりないです。）

こんどは両端が開いた管の場合を考えると、上の二つ目の一覧表で、左端に「節」を付け加えれば良いだけなので、共鳴の条件は、やはり明らかに、λ/2 ずつ増えるわけで、

L = λ/2, 2λ/2, 3λ/2, 4λ/2, …

となります。

要するに、λ/2 ずつ増えるのは、端が腹なら腹、節なら節になるようになっているからです。

ただしそれは増分についてであって、最初の項は違ってくることがあります。（例えば片側が閉じた管と、両端が開いた管でλ/4だけ違う。）

正弦波（サインカーブ）の絵を書いてみると、よく分かると思いますよ。ぜひやってみてください。

この回答へのお礼

はじめまして、質問に回答していただきありがとうございました。
お礼とポイント付与が遅れて申し訳ないです。
いえいえ、図はなくても頭の悪い自分でさえ十分理解できました。
非常にわかりやすかったです。
どうしても納得できなかったんですが、かなりすっきりしました。
左右の節、腹の条件は決まっているため、それを調節するようにやったら、λ/2ごとに増えるってことですね。

また、わからないことがでてくるかもしれませんが、
そのときは、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2007/08/21 18:30

No.3 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/08/20 13:29

弦は両端が固定されていますから節

閉管は片方がふさがっています、そこは節、反対側の開いているところが腹

開管は両方ひろがっているのでどちらも腹

ということはいいですね。

つまり、共鳴（共振）しているときはそれぞれの端っこが上のような状態になっているということです。

今、弦を使って下のような実験をしてみます。左端は音叉につながれている、つまり、弦の振動数は一定です。おもりの重さも変えません（一定です）ですから、弦の公式１／ｆ＝√・・・・とか、ｖ＝ｆλ　の式から、λが一定であることがわかります。

－－－－－－－○
　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　●

ここで、おもりの上の滑車を少しづつ、右側にずらしていきます。すると、弦は少しづつ長くなり（おもりはその分上昇します）、左端は固定端（節）で、波長は変わらないわけですから、右端　滑車のところが　節になったり、腹になったり、あるいは中途半端になったりしますね。

具体的な数字でいきますと、

λ＝４０ｃｍ、はじめの弦の長さが４０ｍとします。

すると、Ａ２さんの回答の図からわかるように、

このときは弦の左端から

節（０ｃｍ）、腹（１０ｃｍ）節（２０ｃｍ）・・・・・となって、滑車のところ（４０）ｃｍは節になります。腹が２個ですね

このとき、この弦は大きく（きれいに）振動します。参考サイトの動画みたいになります。（左の方です）

http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~masako/ex …

つぎに、この滑車を少し右にずらします。すると、そこは節から少しずれてしまいます。こういうときは弦はきれいに定常波ができません。ぶるぶると、不規則に振動します。　滑車をさらに右にずらします。１０ｃｍずらすと、そこは腹になります、が　そんなにきれいには振動しません（と思います）さらに右にずらして、はじめの位置から２０ｃｍずらすと（弦を長くすると）、そこが節になりますので、再び弦は機嫌良く、きれいに大きく振動します。（腹が３個になります）。

これが、弦の場合、λ／２ずらすたびに共鳴する理由です。

閉管（左端閉じている、開いている右端をトロンボーンのように引き延ばす）の場合はどうか。このばあいは、右端が腹になっています。が、上の弦と全く同じで、やはりλ／２だけ伸ばすたびに大きな音になるのです。この実験でも、管に吹き込む音の振動数は一定にしておきます。音叉やスピーカーを管に近づけて実験します。

両方開いている管も同じです。

全部、管の端を少しづつずらしていくと、λ／２ずれるたびに、ウワーン～　というような大きな音がするのです。

すべての実験で、音、弦の振動数は変えない、波長は変わらないということが前提です。

少し大きめのボタンがあれば、ボタンの穴２つに糸を通して糸の端を左右の手で持って、ボタンをくるくるまわして、両手を左右に思いっきり引っ張ってみてください。ボタンが勢いよく回ります。左右に引っ張る力をうまく調整すると、ボタンは規則正しく（強くなったり弱くなったりして）、ぶーんとよく回ります。こういうふうにうまく回っているのがいわば共鳴している状態です。　手の力の加減がよくないと、すぐに乱れてしまいます。共鳴していない状態です。

＝＝＝＝＝＝○＝＝＝＝＝＝

こういうふうに２本糸がいります。　共鳴の実験か、と聞かれると少し苦しいのですが、力加減によって、きれいな振動ができたりできなかったりするという例です。

なわとびの縄があれば、片方を柱にくくりつけ、もう片一方を３０ｃｍぐらいの振幅で規則正しく振ると、うまくいったらサイトの図のような振動ができます。結構練習がいります。

腹が１つのものはだれでもすぐにできます（当たり前ですが大縄回しです）これが腹が一つの共振であるなどと考えるのは物理の先生か、よっぽどの理科好きの人ですね！

この回答へのお礼

返事が遅れて申し訳ございません。
以前は僕の質問に回答していただきありがとうございました。
今回もお世話になっちゃいました。
相変わらず、詳しい説明ありがとうございます。
動画も貼っていただき、物理的イメージが掴めました。
実験はちょっと根気がいりそうですが、受験勉強の合間などにやってみようかと思います。
今後ともよろしくお願いします。

お礼日時：2007/08/21 18:22

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/08/18 23:48

共振共鳴は見かけ上、波が停止しているように見えます。

これを定在波と呼び、定在波が立つ（立っている）といいます。
定在波は進む波と開放端または固定端での反射波の合成波が端の反射条件により、2つの波が強めあう所（腹）と打ち消しあう所（節）ができるのです。端での反射波形が端でそのままの位相で反射する（開放端）か、位相が反転して反射する（固定端）かで合成波の振幅が2倍になったり（開放端）、ゼロ振幅になったりします（固定端）。波は周期波形でλ/2波長ごとに振幅がゼロになり、また最大振幅になることから進行波と反射波の和である定在波もλ/2ごとに腹と節ができるのです。