No.3ベストアンサー
- 回答日時:
[一番平凡な書き方の証明]
1×3+2×4+3×5+…+n(n+2)=(1/6)n(n+1)(2n+7)・・・(A)
とする.[右辺の(1/6)の括弧は無いと正式にはまずいです.(違う意味になったりします)]
n=1のとき
(左辺)=1×3=3,(右辺)=(1/6)×1×2×9=18/6=3
で(A)は成立.
n=kのとき(kは任意の自然数)
1×3+2×4+3×5+…+k(k+2)=(1/6)k(k+1)(2k+7)・・・(*)
が成立すると仮定すると
両辺に (k+1){(k+1)+2}=(k+1)(k+3)を加えて
1×3+2×4+3×5+…+k(k+2)+(k+1)(k+3)
=(1/6)k(k+1)(2k+7)+(k+1)(k+3)
=(1/6)(k+1){k(2k+7)+6(k+3)}
[ここで,共通因数(1/6)(k+1)とみて括っています]
=(1/6)(k+1)(2k^2+7k+6k+18)
=(1/6)(k+1)(2k^2+13k+18)
=(1/6)(k+1)(k+2)(2k+9)
[ここは偶然ではなくて,(*)式の右辺でkをk+1で置き換えた形になるハズという信念(予測)を持って書いて見ると,確かに展開して合っています.ただし,証明なので(*)式でkをk+1で置き換えて...などと書くと,導いていない(示していない)ことになって致命的な誤りです.]
すると(A)はn=k+1のときも成り立つ.
よって数学的帰納法により,全ての自然数nで(A)は成立.
No.4
- 回答日時:
すいません、証明方法間違えてますね、、、
お恥ずかしい限りです
証明は#3の方を参考になさってください。
No.2
- 回答日時:
因数分解ではなくてそのまま掛け算ですね
例を書きます
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+a×b
です
x^2はxの2乗です
もっと一般化すれば
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd です。
ちなみに
a(b+c)=ab+acです
これで理解できるでしょうか?
No.1
- 回答日時:
先ほど回答があったようですが、あれでは分からなかったですか?
簡単に説明しましょうかね。
まずはn=1について成り立つか確かめます。
これは証明する上で必要な手続きです。
次にn=kについて考えます。(kは任意の整数)
1×3+2×4+3×5…+k(k+2)=1/6k(k+1)(2k+7)
が成り立つと仮定します。
次にn=k+1について考えます
左辺はn=k+1の項が1つ増えて
1×3+2×4+3×5…+k(k+2)+(k+1)(k+1+2)・・・1式
となります。
右辺はn=k+1を代入して
1/6(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+7)・・・2式
ですね。
1式において
1×3+2×4+3×5…+k(k+2)を仮定に従って
1/6k(k+1)(2k+7)
と置き換えます。
すると1式は
1/6k(k+1)(2k+7)+)+(k+1)(k+1+2)となります。
この式と2式が等しいことを証明できればよいです。
計算すると同じになりますので、それを確かめましょう。
任意の整数kとk+1の間で成り立つことが以上の証明から分かります。
n=1では問題文の式は成り立つのですから、拡張すれば、全ての整数で成り立つといえます。
誤って、締め切ってしまいました。お礼も出来ず申し訳ありませんでした。この場を借りて謝罪致します!
1/6(k+1)(2k+7)+(k+1)(k+3)が解けないです…。因数分解の公式を教えて頂けないでしょうか?高校時代の教科書類は全て処分してしまって困ってます。当時は「因数分解なんて今後ぜったいに使わねえよ!」なんて言ってたんですけどね…。
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