反応拡散方程式の定常解について

反応拡散方程式
dU/dt = f(U,V)+ΔU
dV/dt = g(U,V)+ΔV
(fとgは非線形な関数でΔは空間1次元のラプラシアン)
には、条件が整えば空間的に非一様な定常解（時間変化しない解）
が存在します。

このような空間非一様性を満たす定常解
0 = f(U,V)+ΔU
0 = g(U,V)+ΔV
をノイマン境界条件のもとで数値的に求めようとして、
ラプラシアン(Δ)を離散化した次の連立方程式
0 = f( U<i>, V<i> ) + [U<i+1>-2U<i>+U<i-1>]/h^2
0 = g( U<i>, V<i> ) + [V<i+1>-2V<i>+V<i-1>]/h^2
(i=0～N)
をニュートン法で解いてみました。

結果、
初期値(u(x)とv(x)の形)によってはまぐれで空間非一様な定常解らしき状態に収束することがあるのですが、ほとんどの場合発散してしまうか、一様な解（u(x)=0,v(x)=0）に収束してしまいます。1000回ほどランダムに初期値を変えて試行したところ空間非一様＜らしき＞解に収束したのはたった数回でした。また、離散格子点を多くとった場合（例えばN=200）には、まったく収束しなくなりました。直感では、初期値さえうまくとれば収束しそうな気がしたのですが、、


質問：
　上の反応拡散方程式のような非線形連立偏微分方程式の定常解を、数値的に求める手段というのはあるのでしょうか？

アドバイスよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/09/30 10:25

動特性方程式のシミュレーションを行うのに、似たような苦労を経験しました。

定常解を求めるには、時間微分の項を含む微分方程式の長時間後の値を求めればよいのですが
コンピューターを使われるのでしょうから、長時間ランさせて、落ち着く値を求めると良いと
思います。
その際、重要なのは、初期値の設定でしょう。
離散化した連立方程式として、良く用いられるのがルンゲ・クッタ法で、収束性が良いとされ
ているので、採用されては如何ですか。
その他、収束で問題になるのが、離散格子点の数です。多い方が好ましいのですが、時間が
かかるという問題があります。

ご参考まで

この回答への補足

ＡＵＴＯの仕組みは
不安定な定常解を検出といよりかは、
発見した定常解を予測子修整子法で追跡するという
イメージですね、、、

補足日時：2007/09/30 16:30

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。
ご指摘のとおり、ルンゲクッタ法によって解いてみたところ、
非一様解へ収束させることができました。

ただしこのシミュレーションによる方法の場合、
安定な定常解は確認することができるのですが、
不安定な解は確認できません。

不安定定常解も計算する方法はあるのでしょうか？？
ＡＵＴＯなどの分岐解析ソフトでは、不安定な定常解も検出できているようなのですが、、、

どなたか他にもアドバイスありましたらご教授ください。

補足：初めの式のdU/dtは∂U/∂tの誤りです。

お礼日時：2007/09/30 15:31

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2007/10/02 04:47

不安定定常解は、時間を反転すれば安定定常解。