トーラスは R/Z × R/Z と同相。ではクラインの壷は？

直線は実数 R と同相です。

円周は実射影直線 RP(1) = { R^2 - {(0, 0)} } / ～ (比が同じものを同一視) と同相です。
また、円周は実数に無限遠点を付け加えた R∪{∞} とも同相です。
また、円周は実数体 R を有理整数環 Z で割った剰余環 R / Z とも同相です。

線分は、実数に無限遠点を２個付け加えた R∪{+∞, -∞} とも同相です。

平面は実数の組 R^2 や複素数 C と同相です。

球面は複素射影直線 CP(1) = { C^2 - {(0, 0)} } / ～ (比が同じものを同一視) と同相です。
また、球面は複素数に無限遠点を付け加えた C∪{∞} とも同相です。

実射影平面は RP(2) = { R^3 - {(0, 0, 0)} } / ～ (比が同じものを同一視) と同相です。

トーラスは R/Z × R/Z と同相です。

では、円板(境界を含む)はどのような代数的存在と同相と考えることができるのでしょうか？

クラインの壷はどのような代数的存在と同相と考えることができるのでしょうか？

その他、上記のような幾何学的存在と代数的存在の関係に、なにか別のいいアイデアがありましたらいただけないでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ninigi 回答日時： 2007/11/07 02:07

　

無限遠点を付け加えたり、一点（原点）を引いたりするのは抵抗ないみたいなので連結和もＯＫかと思いましたが、ダメでしたか・・・。
連結和に代数的イメージを結びつけるのは難しいですね。うまい具合に代数的に意味のある場所でディスクを切り取れて、なおかつ代数的に意味のある方法で貼り付ける必要がありますね、
　
　
等質空間ほど綺麗な構成方法ではありませんが、代数的に意味のある方法でメビウスの帯やクライン管を作る方法を考えてみました。
　
【メビウスの帯】
まず実数Ｒ＝｛ｘ：実数｝と１次元トーラスＳ１＝｛θ：０≦θ＜２π｝の直積Ｒ×Ｓ１を作ります。
このＲ×Ｓ１の元の同値類～を次のように定義します。
　（ｘ，θ）～（－ｘ，θ＋π）
すると商空間Ｍ＝（Ｒ×Ｓ１）／～　は境界を含まないメビウスの帯になります。
これは球面の北極と南極を除いたものに実射影平面ＲＰ（２）を作る同一視と同じ操作を行ったもので、従って実射影平面ＲＰ（２）からディスクを取り除いたもの（＝メビウスの帯）が得られます。
境界を含みたかったらＲをＲ∪{+∞, -∞} などで置き換えてください。
　
【クラインの壷】
Ｒ×Ｓ１の同値類を次のように定義します。
　（ｘ，θ）～（－ｘ，θ＋π）～（ｘ＋１，θ）
この同値類による商空間ＫＬ＝（Ｒ×Ｓ１）／～　はクラインの壷になります。
この操作を元の空間Ｒ×Ｓ１内の矩形[０，１]×[０，π]に制限してみると、上下の辺を逆向きに、左右の辺を順向きに貼り合せるクラインの壷の構成方法に一致することが判ります。
　
こんなんでいかがでしょうか？

No.2 回答者： ninigi 回答日時： 2007/11/05 01:57

　

＞幾何学的存在と代数的存在の関係
　
というと、両者の関係の深い順に
　
１．Ｌｉｅ群　（微分多様体でもあり、かつ群でもあるもの。主な例は古典群）
２．等質空間　（Ｌｉｅ群を部分群で割った商空間。トーラスや射影空間、球面など）
３．代数多様体　（代数方程式の零点を張り合わせたもの）
　
が思いつきますね。
　
クライン管は向き付けられないのでＬｉｅ群にはならないし、曲率を考えると等質空間にもならなそうな気がします。
一方、クライン管は２個の実射影空間の連結和と同相なので、代数多様体になるんじゃないでしょうか。
式で書くと
　
　クライン管＝ＲＰ（１）＃ＲＰ（１）
　
です。
　

この回答へのお礼

ありがとうございます。
幾何学的存在（イメージの世界）と代数的存在（論理の世界）の関係には、かんたんな感覚として、

直線⇔実数
２つの直線を直交させると平面ができる⇔２つの実数を並べて書くと実数の組ができる

などと思っています。

で、連結和というのは、幾何学的存在（イメージの世界）のものと思うのですが、それに対応する代数的存在（論理の世界）のものはなんなのかなあと疑問に思っています。

クラインの壷は、
[0,1] × [0,1] の境界を次のように同一視したものでもあります。
(0,y) ～ (1,y) ただし 0 ≦ y ≦ 1 ：対辺を同じ向きに張りあわせる
(x,0) ～ (1-x,1) ただし 0 ≦ x ≦ 1：対辺を反対向きに張りあわせる

[0,1] × [0,1] を正方形折り紙として、一組の対辺を同じ向きに張りあわせるということは、円柱にするということ。
さらにいえば、[0,1] × R　という無限に長い帯を、トイレットペーパーのごとく巻きつけて、円柱、[0,1] × R/Z にするということ。

同様に、
[0,1] × [0,1] を正方形折り紙として、一組の対辺を反対向きに張りあわせるということは、メビウスの帯にするということ。
さらにいえば、R × [0,1] という無限に長い帯を、次々ひねりながら巻きつけて、メビウスの帯 にするということ。
その無限に長い帯をメビウスの帯にするという操作が、代数的にどういえばよいのか疑問に思っています。

お礼日時：2007/11/05 10:10

No.1 回答者： zk43 回答日時： 2007/11/04 18:48

回答がないようなので、ほんの参考程度に・・・

円板は[0,1]×R/Zと同相と言えるでしょうか。
クラインの壷は２つの射影平面に穴を開けて縁に沿って張り合わせた
もので、射影平面に穴を開けた図形はメビウスの帯と同相なので、
クラインの壷はメビウスの帯を縁に沿って張り合わせたものとも考え
られます。
代数的な存在というとちょっとわかりませんが。
向き付け不能なので、想像しずらい。
基本群なら<x,y|x^2y^2=e>となりますが・・・

この回答への補足

クラインの壷は長方形の紙（のび縮みできる）の辺を、ある向きにそって張り合わせたものですが、
捩って張り合わせるということが、代数的にどう表されるかを知りたいと考えています。

補足日時：2007/11/05 01:19

この回答へのお礼

ありがとうございます。
でも違うような。。。

お礼日時：2007/11/04 20:59