方程式の解き方

分数の分母にxが含まれる方程式
y=（4x^2-1）/4x　（ただしx≠0）

この方程式の最小値を求める場合、
どのように式を処理したら良いのでしょうか？

ちなみにこれは積分の問題
「y=x^2の2つの接線が直行する場合、
2つの接線と放物線に囲まれる部分の面積の最小値を求めよ」
という問題を解いている際に出てきました。

分かる方いましたら、宜しくお願い致します。

No.1 回答者： rtz 回答日時： 2007/11/06 22:45

最小値はありません。

x→+0とx→-∞でいくらでも小さくなります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
すみません方程式を間違えていました。

y=（4x^2+1）/4x

です。質問に書いてある問題の答えは1/12なので、
上の方程式は1/12を最小値にとるはずなのですが
（解説では相加相乗平均を使用している）
図形的に処理する方法が無いのか気になるので・・・。

お礼日時：2007/11/06 23:19

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/11/06 23:40

＞y=（4x^2-1）/4x（ただしx≠0）でなくて

x>0でないですか？
あるいは、面積は
y=（4x^2-1）/(4|x|)
でないですか？
そうでないと面積がx＜0になります。
面積は負にはなりませんからね。

x>0とすると（あるいは|x|を改めてxとおく。するとx>0となる。)

y=(4x^2 +1)/(4x)=x+(1/4)/x
y'=1-(1/4)/x^2=1-1/(2x)^2={1-(1/2x)}{1+(1/2x)}
x>0より、y'=0となるxは
{1-(1/2x)}=0から x=1/2
0<x<1/2でy'<0からyは単調減少
1/2<xでy'>0からyは単調増加
故に
x=1/2の時、最小値y=(1/2)+(1/2)=1
----------
x<0の時は
y=(4x^2+1)/(-4x)となり
x=-1/2の時、最小値=1
となりませんか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
分母にxが入っていても方程式計算できるんですね。
勉強になりました。

ただやはり相加相乗の方が簡単な気がします。
x+(1/4x)≧2√(1/4)＝1　（∵x＞0）　魚みたいです
相加相乗平均が出来ないときは微分を使ってみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/07 00:34

No.3 回答者： 0lmn0lmn0 回答日時： 2007/11/07 00:08

>>2つの接線と放物線に囲まれる部分の面積は、

　S=(1/12){ ( b-a) )^3}　となるはずで、

>>直交する場合は、

　4ab=-1 →a=-1/4b

　S=(1/12){ ( b+(1/4b) )^3} となって、

b＞０　として良いので、
b+(1/4b)の相加・相乗で済むのでは。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

仰るとおり相加相乗がずっと楽でした。
面積の最小値を求める際は大抵相加相乗平均で値が出るので
それで十分ですね。

お礼日時：2007/11/07 00:36