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分数の分母にxが含まれる方程式
y=(4x^2-1)/4x (ただしx≠0)

この方程式の最小値を求める場合、
どのように式を処理したら良いのでしょうか?

ちなみにこれは積分の問題
「y=x^2の2つの接線が直行する場合、
2つの接線と放物線に囲まれる部分の面積の最小値を求めよ」
という問題を解いている際に出てきました。

分かる方いましたら、宜しくお願い致します。

A 回答 (3件)

>y=(4x^2-1)/4x(ただしx≠0)でなくて


x>0でないですか?
あるいは、面積は
y=(4x^2-1)/(4|x|)
でないですか?
そうでないと面積がx<0になります。
面積は負にはなりませんからね。

x>0とすると(あるいは|x|を改めてxとおく。するとx>0となる。)

y=(4x^2 +1)/(4x)=x+(1/4)/x
y'=1-(1/4)/x^2=1-1/(2x)^2={1-(1/2x)}{1+(1/2x)}
x>0より、y'=0となるxは
{1-(1/2x)}=0から x=1/2
0<x<1/2でy'<0からyは単調減少
1/2<xでy'>0からyは単調増加
故に
x=1/2の時、最小値y=(1/2)+(1/2)=1
----------
x<0の時は
y=(4x^2+1)/(-4x)となり
x=-1/2の時、最小値=1
となりませんか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
分母にxが入っていても方程式計算できるんですね。
勉強になりました。

ただやはり相加相乗の方が簡単な気がします。
x+(1/4x)≧2√(1/4)=1 (∵x>0) 魚みたいです
相加相乗平均が出来ないときは微分を使ってみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/07 00:34

>>2つの接線と放物線に囲まれる部分の面積は、



 S=(1/12){ ( b-a) )^3} となるはずで、

>>直交する場合は、

 4ab=-1 →a=-1/4b

 S=(1/12){ ( b+(1/4b) )^3} となって、

b>0 として良いので、
b+(1/4b)の相加・相乗で済むのでは。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

仰るとおり相加相乗がずっと楽でした。
面積の最小値を求める際は大抵相加相乗平均で値が出るので
それで十分ですね。

お礼日時:2007/11/07 00:36

最小値はありません。


x→+0とx→-∞でいくらでも小さくなります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
すみません方程式を間違えていました。

y=(4x^2+1)/4x

です。質問に書いてある問題の答えは1/12なので、
上の方程式は1/12を最小値にとるはずなのですが
(解説では相加相乗平均を使用している)
図形的に処理する方法が無いのか気になるので・・・。

お礼日時:2007/11/06 23:19

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