
高校1年生の者です。明日テストなのですが、
どうしても解けない問題があり、とても焦っています;
二項定理で
nC0+nC2+・・・・+nC(n-1)=nC1+nC3+・・・・+nCn=2^(n-1)
を証明せよ。(ただしnは奇数とする。)
という問題です。(見にくくてすみません)
解説を読んだのですが全く解りません・・・;
nC0×2^n-nC1×2^(n-1)+nC2×2^(n-2)-・・・+(-1)^n×nCn=1
という問題は解くことができます。
-------------------------------
また、違う問題でもう1問解らないものがあります。
(2つ質問することは駄目ですよね・・・;
ご説明してくださる場合は片方だけで結構です;)
11^100-1の末尾に並ぶ0の個数を求めよ。
という問題です。
11^100を(10+1)^100にして考えるところまではいったのですが、
その後どうしてよいかわかりません;
普通に計算していくのは大変ですよね。
どうやって考えればよいのでしょうか。
焦っていて至らない場所があるかもしれません;
すみません。
もし宜しければご説明お願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1-1)^n=0 だから、
nC0(1)^n*(-1)^0 +nC1(1)^(n-1)*(-1)^1+・・・+nCn(1)^0*(-1)^n=0
nが奇数だから
nC0-nC1+nC2-・・・-nCn=0
移項して最初の等式がでて、
(1+1)^n=nC0+nC1+・・・+nCn=(nC0+・・・nCn-1)+(nC1+・・・+nCn)=2^n
だから、
( )=2^n/2=2^(n-1)
となります。
11^100=(10+1)^100=100C0+100C1*10+100C2*10^2+100C3*10^3+
・・・+100C100*10^100
=1+1000+495000+50*33*98*1000+・・・
となって、・・・より後の項は、10000より大きい。
とるすと、***6000 となって、0は3つ並ぶ。
丁寧にご説明してくださり、
ありがとうございました。
なんとなく理解できました。
数学はやっぱり苦手です;
難しいですね・・・。
No.5
- 回答日時:
正攻法じゃないと思いますが・・・
nCk=nC(n-k)・・・(1)
(1)より(nは奇数なので)真ん中と左の式は同値です
右の式、2のn-1乗は、2分の2をかけて2^n/2とします
2^n=(1+1)^n=nC0*1^0*1^n+nC1*1^1*1^(n-1)+……+nCn*1^n*1^0
となります
1の累乗は無視していいので、
2^n/2=(nC0+nC1+……+nCn)/2 です
(1)よりnCkのkが奇数か偶数、どちらかを全て消せる(÷2)ので、真ん中又は左の式と同値になります
No.2
- 回答日時:
>nC0+nC2+・・・・+nC(n-1)=nC1+nC3+・・・・+nCn=2^(n-1)
(x+y)^n=Σ[k=0,n] nCk*(x^k)*(y^(n-k))…(1)
(1)でx=y=1とおくと
2^n=A+B …(2)
ここで
A=nC0+nC2+・・・・+nC(n-1)
B=nC1+nC3+・・・・+nCn
また(1)でx=1,y=-1とおけば
0=A-B …(3)
(2)と(3)から
証明するAとBの式が出てきます。
後半は後で
細かく説明してくださり、
ありがとうございました。
Σはまだ習っていないので
私の頭ではよく解らないのですが、
考え方がわかった気がします。
ありがとうございました。
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