http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3593191.html
で、東大入試っぽい問題を、自作して、自分で解けなかったので、くやしーので、
自分でちゃんとといて問題を作ってみました。
高校の「文系」数学の範囲で解けます。つか、自分文学部出身です。
ただちょっと、自分の解答、ちょと表現として、うまく説明できない部分がありますが・・・。
--
p,q,r,sは、全て、1,3,5,7の中のいずれかの数値である。
なお、p,q,r,sの中で同じ数値が存在してもかまわないものとする。
4096 / ( (p + q + r + s)^2 ) が整数となるときの、
p,q,r,sの取り得る値は何通りあるか、答えよ。
---
どでしょ? またポカしちゃうかな・・・???
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
p≦q≦r≦s とする。
4096=2^(12) だから分子は2^kになればいい。
したがって、p+q+r+s=4,8,16
p+q+r+s=4 のとき
(p,q,r,s)=(1,1,1,1)
p,q,r,sの並び方を考えて
→1通り
p+q+r+s=8 のとき
(p,q,r,s)=(1,1,1,5),(1,1,3,3)
→4+6=10通り
p+q+r+s=16 のとき
(p,q,r,s)=(1,1,7,7),(1,3,5,7)(1,5,5,5),(3,3,3,7),(3,3,5,5)
→6+24+4+4+6=44通り
したがって、1+10+44=55通り
合ってますか?
東大というほどのレベルではないと思いますよ。
この回答への補足
やっぱり簡単すぎましたね・・・ということで、自分の回答です。
長いかもしれませんが、悩まず一気に計算しました。
p≦q≦r≦s とする。
このとき、4096 / ( ( p + q + r + s)^2 ) ≦ 4096 / (4*p)^2 ≦ 4096 / (4*1)^2 = 4096 / 16 = 256 ・・・(1)
また、1,3,5,7から任意の4つの数字を選んだ場合(4つの数字の中に一致するものがあってもかまわないもとする)、
その4つの数字の合計を、Rとおく。
このとき、Rの取り得る値は、4,6,8,10,12,14,16,18,20,24,26,28 のみである。・・・(2)
//-----------------------------------------------------------
//-----------------------------------------------------------
【私的注記】
入試だとすると、(2)の根拠が不十分かもしれないため、下に、丁寧に根拠を書いてみる。
****************************************************************
p≦q≦r≦s とする。
また、
1 = 1
3 = 1 + 2
5 = 3 + 2
7 = 5 + 2
である。
R のとりうる値として、最小値が4であることは自明。(p=q=r=s=1のとき)・・・(A)
また、
(i)p≠7の場合
「R のとりうる値」として g が存在するとき、
p + 2 は、3,5,7のいずれかである。
よって、「R のとりうる値」として、g + 2が存在する。・・・(B)
(ii)p=7の場合
P = q = r = s = 7となり、R = 28 である。そして、これが、Rのとりうる値の最大値であることは自明である・・・(C)
以上(A)(B)(C)の結果、数学的帰納法により、
「R のとりうる値」の一部として、4,6,8,10,12,.....26,28(4以上28以下の偶数すべて)が得られる。
//-----------------------------------------------------------
//-----------------------------------------------------------
また、
4^2=16,6^2=36,8^2=64,10^2=100,12^2=144,14^2=196,15^2=225,16^2=256である。・・・(3)
また、
4096/16,4096/36,4096/64,4096/100,4096/144,4096/196,4096/225,4096/256
のうち、整数で割りきれるものは、
4096/16、4096/64、4096/256 のみである。・・・(4)
∴(1)、(2)、(3)、(4)より、p+q+r+sは、4,8,16のいずれかである。
以下は、#1さんの回答と同じです。
--
ふと思いついた、ほかの別解
p≦q≦r≦s とする。
このとき、4096 / ( ( p + q + r + s)^2 ) ≧ 4096 / (4*p)^2 ≧ 4096 / (4*1)^2 = 4096 / 16 = 256 ・・・(1)
∴4096 / 256 ≧ (p + q + r + s)^2 ⇔ 16 ≧ p + q + r + s
以下はまあ、お好きなように・・・。
--
ありがとうございました。
ご回答ありがとうございます。
ずばり、合ってます。
・・・というか、4096なんてベタな数字を出したのが失敗でした。
最初は、分子も(a + b + c ) ^ ?とかいろいろ考えてたんですけどね・・・
なんだか冗長な解答になりそうな気がして、気を抜いてしまいました・・・。
ちなみに、4096が2^12だと分からない人を前提にして、
自分は解いてみました。
ま、ご回答の2行目以外は全て同じですが・・・。
なんというか、赤本的な解答で解いてみました。
しかし、自分、計算ミスしてしまった・・・。5点マイナスだなこりゃ・・・じぶん。
一応、自分の解き方は、まだ、伏せておきます。
あ、でも、東大でも文系の数学って、ラッキー問題は結構こんなもんですよ。
ともあれ、ありがとうございました。
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