ルービックキューブを数学的に証明したい！！

Question

高校の研究でこれをテーマに選んでしまい、これができないとまぢで卒業できません。助けてください。

誰がやっても、どんな状態から始めてもこの解き方なら１００％解けるという方法と、そのことを証明したいのです。

１：まず、パズルを証明するに当たってどんな方法があるのか。
　　ルービックキューブに限らず、パズルを証明するようなサイトがあれば教えてください。
２：レポートにしなければいけないため、どのようにまとめればいいのか全く分かりません。
３：できれば証明していただければありがたいです…。（当初は自分の力だけでやろうと思ってたんですが、卒業がかかってくると流石に…）

puni2 · Accepted Answer

良い本があります。
島内剛一（しまうちたかかず）著『ルービック・キューブ免許皆伝』（日本評論社，1981年3月）です。絶版かもしれませんのでその際は図書館で聞いてみてください。
島内先生は立教大学教授で，コンピュータや数学に関する本を多数書かれています。惜しくも数年後亡くなられました。
他にもキューブの解き方だけを書いた本ならいくつかあるのですが，本書が他所と違うところは，きちんとした数学的な裏づけがあって，それでいて一般の人でも分かるように書かれているというところです。
天の巻，地の巻，人の巻，虎の巻（！）という4つの章からなっており，この本全体がいってみれば「必ず解ける」という証明のようなものです。
ただ，本当に100％解けるのか？という厳密な証明となると，どうしても群論（とくに置換群）の知識が必要になります。
たとえば，揃った状態からスタートして，角のキューブ1個だけ（あるいは辺のキューブ1個だけ）が向きを変えた状態にもっていくことはできません（こわせば別ですが）。
本書は一般向きの図書ということもあり，その辺の話は，巻末に「数学の定理から」として2ページほどさらりと書いてあるだけです。

もう少し数学的な議論は，同じ日本評論社から出ている『数学セミナー』という雑誌に時々載っていました。
私が覚えているのは，80年10月号・11月号の「System5」というコーナーで，それぞれ数ページにわたってとりあげられていました。
また，81年8月号には『ルービック・キューブで群論を学ぼう』という特集があり，40ページにわたっていろいろな記事が載っています。
おそらく都道府県率図書館にバックナンバーがある可能性が高いので，お近くの図書館に問い合わてみて下さい。

今の高校数学では，（少なくとも教科書では）群論は学ばないと思います。
以前は数学IIBという科目で軽く扱っていましたが，84年度入学の学年から新しい指導要領になって，それ以降は習っていないはずです。
大学の範囲まで先取りして教える学校や塾などでは扱っているかもしれませんが。

オーソドックスな証明のやり方としては，
「キューブには3面体と2面体（本によってはコーナーキューブとエッジキューブ，角と辺などともいう）があること」
「各キューブには，位置も向きも正しい状態，位置は正しいが向きが違う状態，位置が違う状態の3通りの状態があること」
をおさえたうえで，
「位置や向きのずれかたにはこういう規則性がある」
「こういう状態のときは，こういった操作を行なうことで，こういう状態に持って行くことができる」
というのをあげていけば，結局は全ての場合を網羅することになるでしょう。
ただ，これだと相当長い証明にならざるをえないような気がします。
もしかしたらもっとエレガントな方法があるかもしれません。

kee · Answer

度々すみません
本当は、数学者さんのおでましを期待したいところですが。

本気で数式にするのは大変難しそうですよ。
まず、ひとつひとつの駒の動きに注目して法則性を見つけなくてはなりません。
たとえば、ひとつの駒は4回同一方向へ動かせば同じ状態になる数列になると思いま
す。そして、それは、6561のうちのひとつの動きですね。
面の動きを数式にして、極限で１つに収束することを証明すればよいのかもしれませ
ん。

もちろん、ここでの駒の動きというのは、キューブを解く答え（法則）で制限をかけなくてはなりません。

そうです。この法則性を数式にするのが一番難しいのかも。
まぁ、参考になるかどうかわかりませんが。

cuprate · Answer

こんばんは。
ルービックキューブの解法には、群論が必要です。
最近の高校のカリキュラムには「群」は入っていますか？
十数年前のカリキュラムには入っていたのですが、、、。

群とは、「数と計算」の集合のようなもので、たとえば、
「整数と加減算は、整数同士加減算しても必ず、整数に
なりますから、群を成してします。」
なんていう風にいいます。
「1と-1とiと-iと掛け算」も群です。
「正方行列と積」も群です。但し、この場合、ABはBAと等しく
ないことに注意する必要があります。さて、ルービックキューブですが、

「ルービックキューブと回転操作」は群を成しています。
どんなに回転しても、ルービックキューブがルービックキューブで
なくなることは無いからです。

というわけで、群であることがおわかりいただけましたら、
「群論　ルービックキューブ」で検索をかけて見てください。
山のようにサイトが見つかります。

ただ、サイトが見つかっても、高校生レベルではかなり
難しいような気がします。ルービックキューブを2×2の大きさに
縮小したもので考えてみるのも手ですが、それでも、はっきり
言って、絶望的かも知れません。何しろ、1つの立方体の回転
に関する群(回転群)でも、結構複雑ですから、、、、。

若者のひらめきに期待します。がんばって。
(皮肉ではありません。十数年前に群論にチャレンジして
挫折したものですから、、、、、)。

europiccola · Answer

（再々追記）

ううむ、私もそこまで深く考えたことはなかったですが…。
動きの定義は各人のオリジナリティの見せ所だと思いますが、私だったらこうするかな。

寸法を計るときの「Ｈ（高さ），Ｄ（奥行き），Ｗ（幅）」を使います。
キューブを３階建てのビルに見立てると、１階部分のみを左に回すと「Ｈ１左」、右に回すと「Ｈ１右」、１８０度回すと「Ｈ１反」。
キューブを手前から奥への３層に見た場合、手前の面を右回りに回すと「Ｄ１右」。（以下略）
キューブを左から右への３層に見た場合、左側の面を（正面から見て）上に回すと「Ｗ１上」。（以下略）

例えば、下記の参考ＵＲＬのページの動きを上記の定義で表現すれば、
「Ｗ２下、Ｈ３左、Ｗ２下、Ｈ３左、Ｗ２下、Ｈ３反、Ｗ２上、Ｈ３左、Ｗ２上、Ｈ３左、Ｗ２上、Ｈ３反」
となります。棋譜みたいですね。

いずれにせよ参考図面は付さないと文字だけではレポートを読む方もつらいと思いますが、図と矢印だけでは数学のレポートっぽくないという趣旨であれば上記を参考にしてみて下さい。

参考URL：http://www.alpha-net.ne.jp/users2/dkdkdk/cube/cube6.html

europiccola · Answer

（再追記）

なるほど、お困りなのはレポートの手順なのですね。

「ルービックキューブ」で検索すると複数のサイトが出てきます。解き方にもいくつかの流儀（？）があります。まずは自分にとって分かりやすい流儀を選んでください。できれば見なくてもできるようにマスターしてください。

どの流儀も、バラバラの状態から幾つかのステップを踏んで完成に至ります。その各ステップについて、「どのような配列になっていても第１図にすることはできる」「第１図の状態にあれば、どのような配列になっていても第２図にすることはできる」…という要領でレポートを書けば良いのではないでしょうか。

最終ステップが一番分かりやすいはずです。まず最終ステップの部分を書いて、１ステップずつ戻って個々の部分を書いていった方が作業は楽だと思います。

kee · Answer

この証明ってすごい大変ですよね。
まずは、ペーパークラフトでよく見るさいころの展開図から発展させると良いと思います。
そこで、1面９個の枠を書いて、それぞれの動きを定義します。
どこをどう動かすとどのように入れ替わるか定義します。
あとは、キューブを解く虎の巻を見ながら追っていくと良いでしょう。

それを一枚一枚の絵を併せながら解説図を書いて、努力賞を狙ったらいかがでしょう。

すごい量のページになるような気がしますよ。
高校の教師も課題の妥当性についてなにも考えていないのだろうか？？

europiccola · Answer

（追記）たとえばこんなサイトがあります。

参考URL：http://isweb11.infoseek.co.jp/diary/ksuehiro/index.html

europiccola · Answer

当時何かの雑誌で具体的な攻略法（ステップごとの手順）を読みました。すぐに探し出せるかどうか自信がありませんが（他の方の投稿にも期待）証明はできますので安心してください。

ルービックキューブを数学的に証明したい！！

良い本があります。

度々すみません

こんばんは。

（再々追記）

（再追記）

この証明ってすごい大変ですよね。

（追記）たとえばこんなサイトがあります。

当時何かの雑誌で具体的な攻略法（ステップごとの手順）を読みました。

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