自然対数の経済学的解釈

しばしば経済学で自然対数が用いられますが、よく理解できてません。

例えば昭和45年の日本のGNPは73.19兆円で、log(GNP)=4.293になります。もちろん数学的には自然対数の底eの4.293乗は73.19という意味だと思いますが、経済学的にはこのlog(GNP)はどんな解釈をしたら宜しいでしょうか？

イメージがつかめたら嬉しいです。
教えてくださると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2008/02/08 21:10

自然対数、ね。

結構色々な解釈が出来るものなので、ケースバイケースなのですが。

もっとも基本的なのは、自然体数自体が
lim[n→∞] (1+1/n)^n
の極限なので、連続時間の利子率（伸び率）のお話になります。

別の言い方をすれば、対数というのが、
ln(x)'=1/x
という関係から、
ln(x) = 1/x dx ≒ Δx / x
となるので、伸び率を表すことができます。ここから、例えば GDP の伸び率を対数で表すことが出来る、というのがわかるとおもいます。

また、重要なやり方として
1/5 {ln(昭和 50 年の GDP) - ln(昭和 45 年の GDP)}
を考えると、利子率と同じ考え方から、平均伸び率を容易に計算することが可能です（これ以外の方法だと 5 乗根を解かなければなりません）。
しかも、成長率は精々数％なので、
ln(1+x) = x
という近似式を使うことが出来るため、更に計算を容易に行うことが出来ます。


さらに、例えば価格と消費量のようなことを考えると、価格の 1 ％の変化が消費量を何％変化させるかを弾力性といいますが、弾力性は Δx / x とかけるので、微分の世界に持ち込むと
1/x dx = log(x)
と書くことが出来ます。したがって、対数は弾力性を表すことがあります。


他にも使われることがありますが、よく使われるのはこの二つですね。

この回答への補足

詳しい説明を有難う御座いました。
大変勉強になりました。理解が少し進みましたが
まだ納得しきれていない部分が御座います。
申し訳御座いませんが、また御答え頂けませんでしょうか。

しかし、私もこれまでlog(GNP)とあれば、GNPの
成長率と思って見なしてきました。
ここで出てくる疑問は

1/5 {ln(昭和 50 年の GDP) - ln(昭和 45 年の GDP)}
と例題で示してくださったように複数の値（データ）を
用いれば成長率が計算できると思います。
例えば、昭和45年のGNP73.19兆円log(GNP)=4.293
昭和46年のGNP80.59兆円log(GNP)=4.389
ここから4.389-4.293=0.096=約10％
の成長であることは理解できました。

通常イメージする成長率はこの10％だと思います。
一体、4.293が何か？という疑問です。

また、もしこれが成長率だとすればなぜ
たった一つのデータから成長率が出てくるかが
不思議なのです。

お手数ですがまた丁寧な説明や例でお教えいただけません
でしょうか？

補足日時：2008/02/09 06:16

No.1 回答者： usokoku 回答日時： 2008/02/08 17:16

経済で考える数値は、「前年同月比？％の伸び」でしょう。

実際の数値を対数目盛りでグラフに書いて行くと、直線できれいに洗われます、
だから、対数目盛りを使います。

乗用対数と自然対数があります、前者は、ていが10、後者はていかe(=2.3.....)です。ていか゛eの場合、数学の色々な方程式を解析解(方程式を解いて、別の簡便な方程式に置きかえたもの)が比較的簡単に求められますので、数学やさんは、eを使います、だからeをつかいます。