万有引力の位置エネルギー

こんばんは。万有引力の位置エネルギーについて質問します。

　万有引力は２つの物体の距離の２乗に反比例するとのことですが、
　　Ｆ＝ＧＭｍ／ｒ^2
　万有引力の位置エネルギー　
　　Ｕ＝－ＧＭｍ／ｒ　
　はなぜ（距離の２乗に反比例ではなく）距離に反比例なのでしょうか？

　素朴な疑問です。理解できるかどうかわかりませんが、ともかく質問します。よろしくお願いします。

No.8 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/12 12:49

再び登場。

まず、誤記訂正させてください。
Ｕを求める式の途中、
Ｕ　＝　∫Ｆｄｒ　＝　∫（－ＧＭｍ）／ｒ^2・ｄｔ
　＝　ＧＭｍ∫ｒ^(-2) ｄｔ
ではなく、
Ｕ　＝　∫Ｆｄｒ　＝　∫ＧＭｍ／ｒ^2・ｄｔ
　＝　ＧＭｍ∫ｒ^(-2) ｄｔ
でした。


＞＞＞
数学によれば、微分は関数の増減や接線を求めるもの、積分は関数と軸とに囲まれた部分の面積や、軸に対する体積を求めるための方法だというイメージがあるますが、この場合の微分・積分と重力や位置エネルギーの関係はどうつながるのでしょうか？

重力であれ、電磁気力であれ、斜面をころがるか滑る物体であれ、
ある地点と、その近傍の地点とでポテンシャル（位置エネルギーなど）に差がなければ、力は発生していません。
ポテンシャルに差があるから力が発生します。

これは、地図の等高線を例にして考えるとわかりやすいです。
等高線がない（あるいは非常にすくない）場所は平地であり、その場所にボールを置いても転がりません。

等高線があれば、たとえば、高さ１００メートルと高さ２００メートルとの間は、等高線に直角な方向にボールがころがります。
この「高さ」がポテンシャルに相当します。
等高線の間隔が狭ければ急な坂、広ければなだらかな坂、ものすごく広いかまたは等高線がない場合は平坦です。
微分というのは変化率を求めるものですので、ある地点とその近傍の地点との高さの差、すなわち、地点間を結ぶ道のりの間にまたぐ等高線の本数が、地点同士の坂の急峻度を表します。
単位道のりあたりの等高線の間隔が狭ければ、それは高さの変化率が大、広ければ小です。

ご質問のケースですと、
位置エネルギーは　Ｕ＝－ＧＭｍ／ｒ
「地点ｒの近傍」をｒ＋Δｔと表すことにします。
位置がｒがｒ＋Δに変化するとき、位置エネルギーは、
Ｕ＝－ＧＭｍ／ｒ　から　Ｕ＝－ＧＭｍ／（ｒ＋Δ）　に変化します。
力すなわち、Δｒだけずれた地点の位置エネルギーの差ΔＵは、
ΔＵ　＝　－ＧＭｍ／（ｒ＋Δｒ）　－　（－ＧＭｍ／ｒ）
＝　－ＧＭｍ｛１／（ｒ＋Δｒ）　－　１／ｒ）｝
（分母と分子にｒ（ｒ＋Δｒ）をかけて）
＝　－ＧＭｍ｛ｒ－（ｒ＋Δｒ）｝／ｒ（ｒ＋Δｒ）
＝　ＧＭｍ（－Δｒ）／ｒ（ｒ＋Δｒ）
＝　－ＧＭｍΔｒ／｛ｒ（ｒ＋Δｒ）｝

ここで、Δｒを限りなくゼロに近づける（Δｒ→０）と、
ｒ＋Δｒ　は、ほぼｒなので、
（Δｒをｄｒ、ΔＵをｄＵに書き換えて）

ｄＵ　＝　－ＧＭｍ・ｄｒ／ｒ^2　　　・・・（あ）
ｄＵ／ｄｒ　＝　－ＧＭｍ／ｒ^2　　（＝　Ｆ）
です。

ここまでやった計算は、微分にほかなりません。
ポテンシャルＵを微分すれば、力になります。

積分は微分の逆ですので、（掛け算の逆が割り算であるのとおなじことです。）
力を積分すればポテンシャルになります。
上記の（あ）の式の左辺と右辺の頭にそれぞれ「∫」をつけるだけで、積分の式になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞ポテンシャルに差があるから力が発生します。
＞単位道のりあたりの等高線の間隔が狭ければ、それは高さの変化率が大、広ければ小です。
＞ポテンシャルＵを微分すれば、力になります。

参考にいたします。回答に感謝します。

お礼日時：2008/02/12 19:26

No.9 回答者： richardo 回答日時： 2008/02/12 18:55

　大きな距離と小さな距離との場合を混同していませんか。

　生活圏内ならば位置エネルギーは高さに比例しますね。
　地上でゼロです。高さによらず引力は同じと考えます。

　しかし月ぐらいの距離になったら、引力は距離の２乗に反比例します。距離を測るのは、地球の中心からです。

　それらを整理すれば見えてくるのでは無いでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

本の記載によると、万有引力の位置エネルギー　
　　Ｕ＝－ＧＭｍ／ｒ　
は、地球の引力から脱出するための計算に使っていました。
　ex：　１／２ｍｖ^2－ＧｍＭ／ｒ＝一定

お礼日時：2008/02/12 19:34

No.7 回答者： sanori 回答日時： 2008/02/11 23:11

位置エネルギー（ポテンシャル）をｒで微分したのが重力（重力場）です。

Ｆ　＝　Ｕ’＝　（－ＧＭｍ／ｒ）’
　＝　－ＧＭｍ・（ｒ^(-1) ）’
　＝　－ＧＭｍ・（－１・ｒ^(-2) ）
　＝　ＧＭｍ／ｒ^2

逆をやってみましょうか。
重力（場）を積分したものが位置エネルギー（ポテンシャル）です。
Ｕ　＝　∫Ｆｄｒ　＝　∫（－ＧＭｍ）／ｒ^2・ｄｔ
　＝　ＧＭｍ∫ｒ^(-2) ｄｔ
　＝　ＧＭｍ・（－ｒ^(-1) ）　＋　積分定数
　＝　－ＧＭｍ／ｒ　＋　積分定数

積分定数をゼロにするのが合理的なので、
Ｕ　＝　－ＧＭｍ／ｒ
これは、無限遠点（ｒ→∞）におけるポテンシャルがゼロという基準になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

　数学によれば、微分は関数の増減や接線を求めるもの、積分は関数と軸とに囲まれた部分の面積や、軸に対する体積を求めるための方法だというイメージがあるますが、この場合の微分・積分と重力や位置エネルギーの関係はどうつながるのでしょうか？

お礼日時：2008/02/12 05:47

No.6 回答者： Denkigishi 回答日時： 2008/02/11 22:30

>重力による位置エネルギーと万有引力による位置エネルギーは何か関連がありませんか

関連どころか同じものです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

本で探していたら、地上の赤道上でも重力と万有引力はほぼ等しく（自転による遠心力の大きさは万有引力の１／３００とのこと）、
　ｍｇ＝ＧｍＭ／Ｒ^2
　ｇ＝ＧＭ／Ｒ^2
とありました。

ご指摘ありがとうございます。

お礼日時：2008/02/11 23:05

No.5 回答者： edw-19 回答日時： 2008/02/11 22:23

＞基準が無限遠とのことですが

位置エネルギー＝０です。（基準点）
ここを基準に取れば、
ｍｇｈの位置エネルギーを持つ物質の逆の運動を行います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

無限遠が０（基準）として、いま、「（地表上でなら）－∞＋R：[地球の半径]→０（基準）に向かって運動する」ということでよいのでしょうか？

お礼日時：2008/02/11 22:58

No.4 回答者： edw-19 回答日時： 2008/02/11 21:39

ここの第二宇宙速度の所で計算してあるよ。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99% …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

　　　　　　　　　　　R
ところで、Ｕ＝－∫（－ＧＭｍ／ｒ^2）dr＝－GMｍ／R
　　　　　　　　　　　∞
とは、なにを計算しているのでしょうか？（積分記号ということはわかりますが・・・）
そして、なぜマイナスなのでしょうか？

お礼日時：2008/02/11 22:00

No.3 回答者： edw-19 回答日時： 2008/02/11 21:18

位置エネルギー＝ｍｇｈ

この回答への補足

回答ありがとうございます。
　ところで、万有引力の位置エネルギーは基準が無限遠とのことですが、どのように考えれば位置エネルギーはマイナスになるということになるのでしょうか？

補足日時：2008/02/11 21:50

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

私の知っている限りでは、位置エネルギーは
　(1)ｍｇｈ　　　　（重力による位置エネルギー）
　(2)１／２ｋｘ^2　（ｋ：ばね定数　ｘ：縮んだ距離）
　(3)－ＧＭｍ／ｒ　（万有引力の位置エネルギー）
とのことですが、重力による位置エネルギーと万有引力による位置エネルギーは何か関連がありませんか？私の単なる思い過ごしでしょうか？

お礼日時：2008/02/11 21:29

No.2 回答者： Denkigishi 回答日時： 2008/02/11 21:09

次元的には、力を距離で積分したものがエネルギーです。

そのとき次元がどうなるかを考えてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

Ｎｏ．１さんの回答のごとく、力×距離＝仕事（Ｊ）ということなのでしょうか？

お礼日時：2008/02/11 21:23

No.1 回答者： noname#62142 回答日時： 2008/02/11 20:51

仕事Wは

W=Fx
エネルギー＝力×距離
の関係だから。

引力(F)×距離(r)で、
ふつうに分母のrが1個とれると解釈できそうな・・

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞W=Fx
エネルギー＝力×距離

　ということは
　　Ｆ×ｒ＝｜ＧＭｍ／ｒ^2　×　ｒ｜
　ということですね。（ちなみに、基準は無限遠だそうです）

お礼日時：2008/02/11 21:21