ステンレス板の集中加重のたわみについて

はじめまして。色々と調べてはみたのですが専門ではない為に理解出来ませんでした・・・。仕事上どうしても必要となってしまったので質問させて頂きます。
ステンレス平板（ＳＵＳ３０４）３００ｍｍ×４６０ｍｍ×板厚１０ｍｍのセンターに１６５ｋｇかかった時にどれくらいたわむのかを知りたいです。
支持条件としましては二辺支持（短い辺）・集中加重です。
先にお話しましたが、自分なりに調べて計算してみたのですが単位等がよくわからなくなりとんでもない数字が出てしまいました・・・。ですので計算式まで教えて頂けると大変に有難いです。どうか助けてやって下さい。

No.7 回答者： h191224 回答日時： 2008/02/16 13:40

既に２人の方が具体的な計算結果を出されていますが、ANo2の方は工学単位系を用いられ、ANo3の方はSI単位系を用いられています。

しかも両者が同じ基準での話をされていないので、多分この方面に不慣れなあなたは、困惑されていらっしゃるのではないでしょうか？

単位としては、現在は工学単位系は用いず、SI単位系を用いるご時世ですので、私なりに導いた結果をご紹介します。

まず確認ですが、全体を梁と見なした場合、
・スパンＬは460mm、幅Ｗは300mmですよね？
・300mm方向の２辺が支持されて撓むのですよね？
　（以上２項は、あなたの書かれた内容からこのように受け止められ、ANo2の方はそのように解釈されていますが、ANo3の方が違う受け止め方をされているので、確認です。）
・荷重165kgというのは、165kgfのことですよね？

さて、問題は、板の中央に集中荷重が、面に垂直に作用した場合の、最大撓みを計算したい場合の、解の式を知りたいということです。
この場合、形状がＬ＞Ｗの範囲なら、集中荷重であっても、その集中荷重がが幅方向のライン上に等分布した状態と見なすことができます。
要するに、梁の中央に集中荷重が作用した問題として評価できます。（実際、CAEなどで厳密に解析して確認してみると、梁の公式との相違は後述のように、5%も出ません。）

ということで、既に回答されたお二方が梁の解を適用されているのは妥当です。

したがって、梁の最大撓みｖは、よく知られた両端支持梁の中央に集中荷重が作用した時の式、
ｖ＝ＰＬ^3/(48ＥＩ)
で計算できます。

ここに代入すべき値は以下の通りです。
Ｐ　＝　165kgf × 9.8m/s^2　＝　1617N
Ｌ　＝　460mm
Ｅ　＝　185000MPa～193000MPa
（自分で調べましょう。SUS304と言っても、私が調べた範囲でも上記のバラツキがあります。安全のためなら、一番低い値の185000MPaを採用しましょう。ANo2の方は、単位こそ違っていますが、この値を採用されています。力の単位がN、長さの単位がmmの場合には、Ｅの単位はMPaでの単位の値を用います。）
Ｉ　＝　Ｗｔ^3/12　＝　25000mm^4
（ｔ　＝　板厚　＝　10mm）

もし、Ｅとして、ANo.2の方が採用された値（Ｅ＝189000MPa）を代入すれば、この方の計算された数値
ｖ　＝　0.709mm
になります。
撓み角まで計算する必要は、通常はありません。

ちなみに、板の集中荷重の解では、
ｖ　＝　0.685mm
になりますから、梁の解は、3.5%程度大き目の値になっていることがわかります。
大き目の値が得られるので、設計上・評価上は安全側の値となります。
したがって、難しい板の集中荷重の式を適用するよりは、上記の梁の式を利用しても、何ら差し支えないことがわかります。

ANo3の方が自重まで考慮されていますが、あなたの問題は、荷重が作用した場合の撓みを求めたいのですから、自重による撓みは、それが必要でない限り、計算する必要もありません。

なお、「形状がＬ＞Ｗの範囲なら、集中荷重であっても、その集中荷重が幅方向のライン上に等分布した状態と見なすことができる」と書きましたが、ＬがＷに対して、大きければ大きいほど、梁で計算した値は、板の正解に近づいて行きます。これは「極限特性」を考えれば、当然のことです。

逆に、スパンＬが短くなった場合は？というと、
・スパンＬが幅Ｗと同程度に近づくと、
　梁の解と板の解の大小関係は逆転するようになります。
・Ｌ＝Ｗの場合には、
　梁の解は、1.7%小さくなります。まあ、この程度ですから、設計計算上は、あまり気にする必要はないと思います。
・Ｗ＞Ｌの場合には、
　さらに小さくなっていきますが、だいたいＷ＞(4/3)Ｌとなると、それ以上は値は変化しません。要するに、Ｗがいくら大きくなっても、Ｗ＝(4/3)Ｌとして計算した値になります。これも4/3という係数は別として、「極限特性」を考えれば、当然のことです。

No.6 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/02/14 19:27

ＳＵＳ３０４の密度 ρ　は，ρ＝０.７９３×１０^３（ｋｇ/ｍ^３）で

あるから，幅 Ｌ＝０.３ ｍ、長さｈ＝０.４６ｍ、厚さｔ＝０.０１ｍ
のステンレス平板の自重Ｗ （Ｎ）は、Ｗ＝９.８ρＬｈｔ である。

よって，幅 Ｌ 当りの等分布荷重 ｐ （Ｎ/ｍ）は，

ｐ＝Ｗ /Ｌ＝９.８ρｈｔ
＝９.８×０.７９３×１０３×０.４６×０.０１＝３５.７５（Ｎ/ｍ）

ゆえに，中央に集中荷重 Ｐ＝９.８×１６５（Ｎ） と，自重による
等分布荷重ｐ が作用するスパンＬ＝０.３ｍ の両端支持はりの中央
における最大たわみ ｙｍａｘ (ｍ) は，次式で与えられる。

ｙｍａｘ＝Ｌ^３(８Ｐ＋５ｐＬ)/３８４ＥＩ＝１.２３×１０^－４（ｍ）
　　　＝０.１２３（ｍｍ）

ただし、ＳＵＳ３０４の縦弾性係数 １９３×１０^９ Ｐａ，断面２次
モーメントＩ ＝ｈｔ^３/１２＝０.４６×０.０１^３/１２（ｍ^４） である。

No.5 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/02/14 19:22

ＳＵＳ３０４の密度 ρ　は，ρ＝０.７９３×１０^３（ｋｇ/ｍ３）で

あるから，幅 Ｌ＝０.３ ｍ、長さｈ＝０.４６ｍ、厚さｔ＝０.０１ｍ
のステンレス平板の自重Ｗ （Ｎ）は、Ｗ＝９.８ρＬｈｔ である。

よって，幅 Ｌ 当りの等分布荷重 ｐ （Ｎ/ｍ）は，

ｐ＝Ｗ /Ｌ＝９.８ρｈｔ
＝９.８×０.７９３×１０３×０.４６×０.０１＝３５.７５（Ｎ/ｍ）

ゆえに，中央に集中荷重 Ｐ＝９.８×１６５（Ｎ） と，自重による
等分布荷重ｐ が作用するスパンＬ＝０.３ｍ の両端支持はりの中央
における最大たわみ ｙｍａｘ (ｍ) は，次式で与えられる。

ｙｍａｘ＝Ｌ^３(８Ｐ＋５ｐＬ)/３８４ＥＩ＝１.２３×１０^－４（ｍ）
　　　＝０.１２３（ｍｍ）

ただし、ＳＵＳ３０４の縦弾性係数 １９３×１０^９ Ｐａ，断面２次
モーメントＩ ＝ｈｔ^３/１２＝０.４６×０.０１^３/１２（ｍ^４） である。

No.4 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/02/14 19:17

ＳＵＳ３０４の密度 ρ　は，ρ＝０.７９３×１０^３（ｋｇ/ｍ３）で

あるから，幅 Ｌ＝０.３ ｍ、長さｈ＝０.４６ｍ、厚さｔ＝０.０１ｍ
のステンレス平板の自重Ｗ （Ｎ）は、Ｗ＝９.８ρＬｈｔ である。

よって，幅 Ｌ 当りの等分布荷重 ｐ （Ｎ/ｍ）は，

ｐ＝Ｗ /Ｌ＝９.８ρｈｔ
＝９.８×０.７９３×１０３×０.４６×０.０１＝３５.７５（Ｎ/ｍ）

ゆえに，中央に集中荷重 Ｐ＝９.８×１６５（Ｎ） と，自重による
等分布荷重ｐ が作用するスパンＬ＝０.３ｍ の両端支持はりの中央
における最大たわみ ｙｍａｘ (ｍ) は，次式で与えられる。

ｙｍａｘ＝Ｌ^３(８Ｐ＋５ｐＬ)/３８４ＥＩ＝１.２３×１０^－４（ｍ）
　　　＝０.１２３（ｍｍ）

ただし、ＳＵＳ３０４の縦弾性係数 １９３×１０９ Ｐａ，断面２次
モーメントＩ ＝ｈｔ^３/１２＝０.４６×０.０１^３/１２（ｍ４） である。

No.3 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2008/02/14 19:04

ＳＵＳ３０４の密度 ρ　は，ρ＝０.７９３×１０^３（ｋｇ/ｍ３）で

あるから，幅 Ｌ＝０.３ ｍ、長さｈ＝０.４６ｍ、厚さｔ＝０.０１ｍ
のステンレス平板の自重Ｗ （Ｎ）は、Ｗ＝９.８ρＬｈｔ である。

よって，幅 Ｌ 当りの等分布荷重 ｐ （Ｎ/ｍ）は，

ｐ＝Ｗ /Ｌ＝９.８ρｈｔ
＝９.８×０.７９３×１０３×０.４６×０.０１＝３５.７５（Ｎ/ｍ）

ゆえに，中央に集中荷重 Ｐ＝９.８×１６５（Ｎ） と，自重による
等分布荷重ｐ が作用するスパンＬ＝０.３ｍ の両端支持はりの中央
における最大たわみ ｙｍａｘ (ｍ) は，次式で与えられる。

ｙｍａｘ＝Ｌ３(８Ｐ＋５ｐＬ)/３８４ＥＩ＝１.２３×１０^－４（ｍ）
　　　＝０.１２３（ｍｍ）

ただし、ＳＵＳ３０４の縦弾性係数 １９３×１０９ Ｐａ，断面２次
モーメントＩ ＝ｈｔ^３/１２＝０.４６×０.０１^３/１２（ｍ４） である。

No.2 回答者： noname#117780 回答日時： 2008/02/14 18:41

撓み:ymax=(W*L^3)/(48*E*I)・・・Excel式

撓み角:imax=(W*L^2)/(16*E*I)*(180/PI())・・・Excel式
SUS304のE（縦弾性係数）はab.18900kg/mm^2
材料のI=25000mm^4とW=165kg,L=460を代入すると、
撓み:ymax=0.71mm
撓み角:imax=0.26°
になります。

No.1 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2008/02/14 18:19

　まず公式集ですが、私の知っている範囲では、支持条件の公式は、日本橋梁建設協会のデザインデータブックに載っています。

ただし市販はされていませんので、直接協会に問い合わせるか、図書館か、建設コンサルの知り合いを頼るかになります（橋の設計を行うところなら、大抵持っています）。

　http://www.jasbc.or.jp/publication.asp

　市販品としては、ティモシェンコの薄板理論の本もありますが、読むのに骨が折れます。

＞単位等がよくわからなくなり・・・
　使用定数の名前と単位をわかる範囲でここに上げ、質問されるのが手っ取り早いとは思います。