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∫dx∫dy∫dz exp[-(x2+y2+z2) / 2KT](1+x/c)の解を教えて欲しいのです。
 ∫は-∞から∞です。x2,y2,z2はそれぞれ二乗です。
全然分からなくて困っています。
ただ、∫exp-(x2)dx = √πを使うとは思います。
どうか宜しくお願いします。

A 回答 (5件)

「∫dx∫dy∫dz exp[-(x2+y2+z2) / 2KT](1+x/c)の解」


参考に書いておきます。
(1+x/c)=(1+x)/c としておきます。1+(x/c)だと係数直してください。

∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2) / 2KT](1+x/c)=
{∫exp-x^2/2KTdx}{∫exp-y^2/2KTdy}{∫exp-z^2/2KTdz}(1+x)/c
=(1/c){∫exp-x^2/2KTdx}{∫exp-y^2/2KTdy}{∫exp-z^2/2KTdz}+(1/c){∫xexp-x^2/2KTdx}{∫exp-y^2/2KTdy}{∫exp-z^2/2KT
dz}・・・・(1)
なぜなら、{ }の中は他の積分に無関係だから
∫exp-(x2/2KT)dx =∫exp-(x/√2KT)^2dx x/√2KT=A と置換すると
=√2KT∫exp-(A)^2dA =√2KT(√π)=√(2πKT)
(なぜなら:∫exp-(x^2)dx =∫exp-(y^2)dy==∫exp-(z^2)dz
=√π だから。つまり、積分範囲が同じ、x,y,z の記号の違いだけですね。球体の式ですね。)
この関係を(1)に代入すると
(1)=(1/c){√(2πKT)}^3
+(1/c){√(2πKT)}^2{∫xexp-x^2/2KTdx}
だから{∫(x/c)exp-x^2/2KTdx}項だけ計算すればいいよね。
B=x^2/2KT と置換すれば、
dB=2xdx/2KT だから
{(1/c)∫xexp-x^2/2KTdx}=(KT/C)∫exp-BdB=(2KT/C)[-exp-B]
=(2KT/C)[-exp-x^2/2KT] →0 (x^2>0故 -∞から∞で0)
ということで、
(1)=(1/c){√(2πKT)}^3

(1+x/c)=1+(x/c)だと(ちよっと不明なのでこの場合は、)
(1)={√(2πKT)}^3

ということで、参考まで
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追伸 #2です。


ごめん! ミスっていました。
#4さんが正しい。
訂正まで
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x,y,zを速度vx,vy,vz、kをBoltzmann定数、Tを温度、指数の部分をMaxwell-Boltzmann分布と考えると、これは統計力学の問題ですね。


・・・とこれは問題には関係なかった。


求める式を
∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2)/(2KT)](1+x/c)
=∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2)/(2KT)]
+1/c∫dx∫dy∫dz x exp[-(x^2+y^2+z^2)/(2KT)]
(x,y,zの積分範囲は-∞から+∞)

と二つに分ける。すると第二項はxが奇関数、指数部分が偶関数なので、その積は奇関数となり、(xの)積分するとゼロになる。(分布が球対称なので、xの平均はゼロになる)

残るは第一項のみ。つまり、
=∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2)/(2KT)]

これは、
∫da exp[-(a^2)/b] = √(bπ)
であることを使うと、答えは、

(√(2πkT))^3

となると思います。何か間違ってますか?
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No1でヒントが出ていますので、計算の補足まで


{∫exp-(x2)dx}この積分形式は独立事象と考えればいいのです。
(さいころ確率の計算みたいなもの。x,y,zが独立事象)
∫exp-(x2)dx = √π が分っている。そして「独立事象の掛け算」と考えれば第1項は係数になります。第2項はxが掛かっていますが、y,zは預かり知らぬことということで計算できます。
問題式=(1/2KT)(√π)^3 +(1/2KTC))(√π)^2∫dx xexp[-(x2)]
ということで、積分するのは、「∫dx xexp[-(x2)]」の式だけですね。
「∫dx xexp[-(x2)]」も置換すれば同じ形式の式になります。
=(√π)^3{(1/2KT) +(1/4KTC)}
ということで、
参考までに、
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ヒントです。

1/2KTは省いています。
∫dx∫dy∫dz exp[-(x^2+y^2+z^2)](1+x/c)
=∫exp(-x^2)(1+x/c)dx∫exp(-y^2)dx∫exp(-z^2)dz
=[∫exp(-x^2)+(1/c)∫exp(-x^2)xdx]∫exp(-y^2)dx∫exp(-z^2)dz
・・・・
後はご自分で計算して下さい。
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