lim[n→∞]|a_n|^(1/n)=1とせよ。Σ[n=1..∞]a_nx^nが[-r,r] (0<r<1)で一様収束

こんにちは。

[問] lim[n→∞]|a_n|^(1/n)=1とせよ。Σ[n=1..∞]a_nx^nが[-r,r] (0<r<1)で一様収束する事を示せ。

[証]
|a_nx^n|≦|a_nr^n| (∵x<r) 且つ (Σ[n=1..∞]|a_nr^n|=)Σ[n=1..∞]|a_n|r^nが収束。
が言えれば
Weierstrassの一様収束の定理「∀x∈I(Iは区間)|a_k(x)|≦c_k且つΣ[k=1..∞]c_kが収束
⇒Σ[k=1..∞]a_k(x)はIで一様且つ絶対収束する」
が使えて
Σ[n=1..∞]a_nx^nは一様収束する。
と示せるのですが「Σ[n=1..∞]|a_n|r^nが収束」がどうしても言えません。
どうすれば「Σ[n=1..∞]|a_n|r^nが収束」が言えますでしょうか?

lim[n→∞]|a_n|^(1/n)=1(収束半径は1)からは「Σ[n=1..∞]a_nr^nが収束」しか言えませんよね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/05/07 16:08

Σ[n=1..∞]|a_n|r^n を, 「収束する級数」で上から抑える.

今の場合 r < 1 なので, lim |a_n|^(1/n) = 1 を使うと「有限個を除いて |a_n|r^n より大きくなる, 収束する等比級数」を作ることができるはずです.

この回答へのお礼

有難うございます。


> Σ[n=1..∞]|a_n|r^n を, 「収束する級数」で上から抑える.
> 今の場合 r < 1 なので, lim |a_n|^(1/n) = 1 を使うと「有限個を除いて |a_n|r^n
> より大きくなる, 収束する等比級数」を作ることができるはずです.

もしかして,Σ[n=1..∞]|a_n|r^n<Σ[n=1..∞]|a_n+1|r^n=Σ[n=1..∞]|a_n|r^n+Σ[n=1..∞]r^n
で Σ[n=1..∞]|a_n|r^nもΣ[n=1..∞]r^nも収束だから
Σ[n=1..∞]|a_n|r^n+Σ[n=1..∞]r^nも収束。
よってWeierstrassの優級数定理「∃c∈R;a_k<cb_k且つΣ[n=1..∞]b_kが収束ならばΣ[n=1..∞]a_kも収束」が使えてΣ[n=1..∞]|a_n|r^nも収束が言えるのですね。

お礼日時：2008/05/07 21:41

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/05/07 22:04

おちつきましょう

>どうすれば「Σ[n=1..∞]|a_n|r^nが収束」が言えますでしょうか?

といってるのに

>で Σ[n=1..∞]|a_n|r^nもΣ[n=1..∞]r^nも収束だから

といい，さらに

>Σ[n=1..∞]|a_n|r^nも収束が言えるのですね。

といってます．滅茶苦茶になってるのが分かりますか．

まずは教科書をじっくり読むこと．
とくにベキ級数の性質をしっかり調べること．
そもそも，ベキ級数で，収束半径内で
「絶対収束しないで収束する」ものなんてありますか？
言い換えれば，条件収束するベキ級数は存在しますか？
この当たりの議論は大抵の教科書にはでてると思います．

この回答へのお礼

ご指摘大変有難うございます。
早とちりしておりました。

|a_nx^n|≦|a_nr^n|(∵x<r)
且つ
Σ[n=1..∞]|a_nr^n|=Σ[n=1..∞]|a_n|r^n(∵r>0) ∈R(∵lim[n→∞]|a_n|^(1/n)=1より収束半径は1且つ-1<r<1)
よってWeierstrassの一様収束の定理
「∀x∈I(Iは区間),|a_n(x)|≦c_k且つΣ[n=1..∞]c_kは収束⇒Σ[n=1..∞]a_n(x)はIで一様&絶対収束」からΣ[n=1..∞]a_nx^nは一様収束。

でいいのでしょうか?

お礼日時：2008/05/08 09:16

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/05/08 00:25

そもそも lim[n→∞] |a_n|^(1/n) = 1 から Σ[n=1..∞] a_n r^n < ∞ がいえるんだったら, 同じ条件で Σ[n=1..∞] |a_n| r^n < ∞ もいえるんだけどね. b_n = |a_n| に対して適用するだけ....

さておき, とりあえず思い付くのは
・r < 1 だから (1+ε)r < 1 を満たす ε > 0 が存在する.
・lim[n→∞] |a_n|^(1/n) = 1 だから, 任意の ε > 0 に対し N(ε) が存在し, 全ての n ≧ N(ε) に対し |a_n|^(1/n) < 1 + ε.
から n ≧ N(ε) に対し |a_n| r^n < (1+ε)^n r^n = [(1+ε)r]^n とするもの.

この回答へのお礼

有難うございました。
お陰様で大変参考になりました。

お礼日時：2008/05/21 07:26