標準偏差から寿命を計算する

Question

仕事の報告書に必要な計算で悩んでおります。
パーツの寿命についてです。
パーツAの平均寿命が５０日。標準偏差σ≦±１０日だったとします。
パーツAを２０００個組み合わせたパーツBの寿命を算出したく。
尚、パーツBは、パーツAが一つでも不良になったらNGというパーツです。よって、パーツBの最短寿命を求めることになります。
前例として、パーツAを４０００個組み合わせたパーツCの寿命は１５日と試算されていました。
ネットで「統計学」等で検索していますが、中々回答に辿りつけず、安易に質問してしまいました。基礎的な内容で恐縮ですが、ご教授頂けましたら幸いです。

Ishiwara · Accepted Answer

理論的には、かなり乱暴ですが、実用的な方法があります。
正規分布表で、累積確率3999/4000＝0.99925に該当する値は3.44です。
日数に換算すれば34.4日に当たります。つまり、50日より34.4日早ければ15.6日で、この値はＣの平均寿命とほぼ合っています。
これは、当たり確率1/4000のクジを4000回引けば、平均して１本当たるという「ポアソン分布」を仮定したものです。
同様に、累積確率1999/2000＝0.9995に該当する値は3.20ですから、50日より32日早い18日が、ほぼ平均寿命になると思われます。
上記の34.4が35.0より小さい理由は、1/4000という値が34.4ちょうどでなく「34.4～∞の範囲」に対応していることに由来しますが、「仕事」でしたら、そういう細かいことを無視してもいいでしょう。ただし「学校のレポート」だったら良い点はもらえませんよ。

rabbit_cat · Answer

つまり同一分布に従うｎ個の確率変数の最小値の分布ということですね。
最小値の分布は、
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/278_max.htm
とかを参考に。
各パーツが正規分布に従う場合【１】［３］正規分布のところに説明があります。

もしくは、もともとパーツＡの寿命の分布として正規分布を使うのは工学的には正当性があまりないので、
最初から、こういう極値の分布としてよく使われる、
ワイブル分布、ガンベル分布あたりを仮定しておいたほうが、計算も楽ですしモデルとして妥当な気もします。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%96%E3%83%AB%E5%88%86%E5%B8%83
http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher-Tippett_distribution

kgu-2 · Answer

故障する確率は、正規分布に従い、また、パーツの故障は相互に影響することは無く、１個毎に同じ確率で生じると仮定すると

　パーツAは、平均寿命が５０日、ということは、５０日目の故障確率は0.5。部品を２個使えば、0.5×2=1.0でアウト。
　40日目の故障確率は、標準偏差－1シグマなので、0.1587。すなわち、７個をかけると1を越すのでアウト。
　30日目の故障確率は、標準偏差－2シグマなので、0.0228。すなわち、44個をかけると1を越すのでアウト。
　20日目の故障確率は、標準偏差－3シグマなので、0.0013。すなわち、770個をかけると1を越すのでアウト。

　ここから先は、有効桁数の多いも数表ないので、誤差がでるでしょうが、
17日目は、標準偏差-3.3なので、確率は0.0005。すなわち、２０００個で1.0でアウト。
１6日目は、標準偏差-3.4なので、確率は0.0003。すなわち、3334個で1.0でアウト。
15日目は、-3.5なので、0.0002。すなわち、5000個でアウト。

　エクセルを使えば、もっと簡単にだせるでしょうが、数式は苦手なので。

標準偏差から寿命を計算する

理論的には、かなり乱暴ですが、実用的な方法があります。

つまり同一分布に従うｎ個の確率変数の最小値の分布ということですね。

故障する確率は、正規分布に従い、また、パーツの故障は相互に影響することは無く、１個毎に同じ確率で生じると仮定すると

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