統計学について質問です。この問題を自力でやるとどうなるか計算過程が知りたいです。学校ではエクセルでし

統計学について質問です。この問題を自力でやるとどうなるか計算過程が知りたいです。学校ではエクセルでしか教わらなかったのでテストのとき自力で解けるようにしたいです。お願いします。
X〜N（3,9）のとき、
1）確率P（X≧6）はいくらか？
2）確率P（X ≦0）はいくらか？
3）P（X≧x）= 0.1となる臨界値xはいくらか？
4）P（X≦x）= 0.75となる臨界値xはいくらか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/23 12:41

「計算」するには「正規分布の確率密度関数」を積分すればよいのですが、通常は「標準正規分布表」という表（統計のテキストなり参考書の巻末には必ず載っています）を使うなり、エクセルの「関数」を使えばよいです。

ただ、エクセルの関数は「何を既知として、何を求めるか」をきちんと分かっていないと、頓珍漢な数値を出しても気づきませんから危険です。

お示しの問題場合には、与えられた正規分布を一度「標準正規分布」にして、その上で「標準正規分布表」を見るのが一番確実かと思います。
「標準正規分布」は、N(0, 1) つまり「平均が 0、分散が１（= 標準偏差が１）」の正規分布です。

X~N(3, 9) = N(3, 3^2) を標準正規分布にするには
　Z = (X - 3)/3　　　　　①
（平均値を引いて、標準偏差で割る）
にすればよいです。

1) そうすれば X≧6 ということは、X=6 のとき、①より
　Z = (6 - 3)/3 = 1
ですから、
　P(X≧6) = P(Z≧1)
で、これは下記の「標準正規分布表」で Z=1.00 の表の値を読み取れば、それが P(Z≧1) ですから（縦方向に Z の「小数第1位まで」、横方向に「小数第2位」が書いてある）
　P(Z≧1) = 0.158655
となり、つまり
　P(X≧6) = 0.158655

↓　標準正規分布表
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

2) X≦0 ということは、X=0 のとき、①より
　Z = (0 - 3)/3 = -1
ですから、
　P(X≦0) = P(Z≦-1)
で、正規分布は「左右対称」なので
　P(Z≦-1) = P(Z≧1)
になります。

これが分かっていれば、実は 1) と同じだということが分かり
　P(X≦0) = P(Z≦-1) = P(Z≧1) = 0.158655
です。

上の2つは X なり Z という「変数」を与えられて、その確率を求める問題です。
（たとえば「自分のテストの点数」なり「偏差値」を与えられて、全体の何% ぐらいのところにいるか（=上からの順位、下からの順位など）を求めるようなもの）

これに対して、3)、4) は確率を与えられて、それに相当する「変数の値」を求めるものです。
（上の例でいえば、「順位」を与えられて、その「得点」を求めるようなもの)

3) P(X≧a) = 0.1 ということは、X が a よりも大きい確率が 0.1 ということです。
このときの Z は、①式から
　Z = (a - 3)/3
→　a = 3Z + 3　　　②
になります。
つまり
　P(X≧a) = P(Z≧(a - 3)/3)
となる Z を求め、そこから a を求めることになります。

このときには、上の「標準正規分布表」の表の中の数値が「0.1」に一番近いものを探します。
表から探すと「1.28」か「1.29」ぐらいですね。ここでは近い方の
　Z = 1.28　　　　③
にしましょう。
そうすれば、②式から
　a = 1.28 × 3 + 3 = 6.84 ≒ 6.8
になります。

標準正規分布表にピッタリの数値がないので、それほど精度は高くありませんが、こうやって簡単に求められます。

エクセルの関数を使う場合には、バージョンによって違うこともありますが
　NORMSINV(累積確率)
の関数を使って、ただし「累積確率」は「その値以下の確率」なので、この問題の場合には
　P(X≦a) = 1 - P(X≧a) = 1 - 0.1 = 0.9
として
　NORMSINV(0.9) = 1.28155
となります。
これを使えば
　a = 1.28155 × 3 + 3 = 6.84465 ≒ 6.8
なので結果は同じです。

4) P(X≦b) = 0.75 ということは、X が b よりも小さい確率が 0.75 ということです。
このときの Z は、①式から
　Z = (b - 3)/3
→　b = 3Z + 3　　　④
になります。あたりまえですが②と同じです。
つまり
　P(X≦b) = P(Z≦(b - 3)/3)
となる Z を求め、そこから b を求めることになります。

ここで、前にも書いたように正規分布は「左右対称」なので、「標準正規分布表」は「平均値 0 より上の右半分、確率では 0.5」の分しか書いてありません。
P(X≦b) = P(Z≦(b - 3)/3) = 0.75 ということは、「Z が (b - 3)/3 よりも小さいときの確率」なのですが、上の「標準正規分布表」は、「Z がある値よりも大きいときの確率」を表にしたものです。この表から読み取るためには、「Z が (b - 3)/3 よりも大きいときの確率」にしないといけません。
それは
　P(Z≧(b - 3)/3) = 1 - P(Z≦(b - 3)/3) = 1 - 0.75 = 0.25
ということです。

これで、上の「標準正規分布表」の表の中の数値が「0.25」に一番近いものを探します。
表から探すと「0.67」か「0.68」ぐらいですね。ここでは近い方の
　Z = 0.67　　　　⑤
にしましょう。
そうすれば、④式から
　b = 0.67 × 3 + 3 = 5.01 ≒ 5.0
になります。

同様にエクセルの関数を使う場合には、
　NORMSINV(累積確率)
の関数を使って、ただし「累積確率=その値以下の確率」が「0.75」なので、関数をそのまま使って
　NORMSINV(0.75) = 0.67449
となります。
これを使えば
　b = 0.67449 × 3 + 3 = 5.02347 ≒ 5.0
なので結果は同じです。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/01/23 02:27

企業で統計を推進する立場の者です。

N(平均，分散)という表記は、「正規分布」のことで、「」内の語句でググれば、ウィキペディアなどに式が出ています。ガウスの誤差関数という面倒な式です。

確率は、上記の確率密度関数の面積ですから、その関数を積分して求めることになります。自力で解くには、その積分が楽々できる数学力が必要です。

実際の試験では、積分は面倒なので結果が数表になったものが与えられます。「正規分布表」というものです。この数表を読む練習をしておいた方が良いと思います。「」内の語句でググれば見ることができます。

なお、企業ではもはや数表は使いません。エクセルか統計ソフトを使用します。