確率収束について

Question

確率収束でお聞きしたいことがあります。

確率収束Xn→Xは、∥Xn－X∥→０と定義できるみたいなんですがよくわかりません。

また、
確率収束Xin→Xi⇔確率収束Ｘn→Ｘ　（Ｘn、Ｘはベクトル）
の証明を教えてください。

kumipapa · Accepted Answer

＞　確率収束Xn→Xは、∥Xn－X∥→０
「確率」は無関係でしょう。
Xn→X を ∥Xn-X∥→0 以外で定義するとどうなりますか？
補足欄へ書き込んでみて頂けないでしょうか。

＞　確率収束Xin→Xi⇔確率収束Ｘn→Ｘ　（Ｘn、Ｘはベクトル）
Xin→Xi と Xn→X それぞれを、きちんと ε-N で定義するとどのようになりますか？
これも補足欄へ書き込んでみてください。

質問者さんが何が分からないのかが分かりませんのでアドバイスしかねます。
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kumipapa · Answer

あんまりじらしても悪いから、結論を回答してしまいます。

まず、Xn → X を ∥Xn - X∥→0 で定義すると言う件。
∥X∥はノルムですね。
ノルムの公理である、　∥X∥ = 0 ⇔ X = 0 （Xはベクトル）に従えば、
∥Xn - X∥ → 0　　⇔　　Xn - X → 0　　⇔　　Xn → X
です。また、ノルムは距離の公理も満たしますから、
d(x,y) = ∥x - y∥
とすれば、d(x,y) は距離関数。故に、d(Xn,X) = ∥Xn - X∥→ 0 ということは、概念として Xn と X の距離が 0 に近づく（収束する）というように理解できるでしょう。ノルムとしては様々な計算方法を定義可能ですが、どのようなノルムであっても、上の話は変わりません。
とは言え、ノルムとして何か適当な計算方法を定義しておきたいわけで、代表として、ユークリッドノルムを使うことにしましょう。即ち、
∥Xn - X∥= √{(Xn1-X1)^2 + (Xn2-X2)^2 + .... + (Xnm-Xm)^2}
です。ベクトルの大きさとか、平面や3次元空間で2点間の距離を求める計算式であり、ユークリッド距離の式そのものです。

さて、Xn, X を m 次元ベクトルとして、
Xni → Xi , i=1,2,...,m　　⇔　　|Xni - Xi| → 0 , i=1,2,...,m
は良いですね。|Xni - Xi| は、実はこれも（1次元の)ユークリッドノルムであることに気づきましょう。
そして、最初の質問のように、　Xn → X　　⇔　　∥Xn - X∥ → 0　です。

ここで、Xni → Xi , i=1,2,...,m ならば Xn → X を示しましょう。
i=1,2,...,m において Xni → Xi ならば |Xni - Xi|→0
このとき、
0 ≦ ∥Xn - X∥ = √{(Xn1-X1)^2 + (Xn2-X2)^2 + .... + (Xnm-Xm)^2}
　　　　　　≦ |Xn1-X1| + |Xn2 - X2| + ... + |Xnm-Xm|
　　　　　　→ 0
故に、Xni → Xi , i=1,2,...,m　ならば Xn → X

つぎに、Xn→X ならば、Xni→Xi , i=1,2,...,m を示しましょう
|Xni-Xi| = εi, i=1,2,...m とおきます。
Xn→X より、∥Xn - X∥ → 0 であるから、
∥Xn - X∥ = √{(Xn1-X1)^2 + (Xn2-X2)^2 + .... + (Xnm-Xm)^2}
　　　　　　= √{ε1^2 + ε2^2 + ... + εm^2}
　　　　　　→ 0
∴　ε1^2 + ε2^2 + ... + εm^2 → 0
|Xni - Xi| = εi → 0　, i=1,2,...,m　（⇒　 Xni → Xi ）
以上より、Xn→X ならば Xni→Xi , i=1,2,...,m

です。自明に思えることを証明するのはなかなかしんどいのですが、証明するためには、直感で自明と思っていることをきちんと数式で定義・表現して、取り組むことが必要になるでしょう。ご質問の様子から、ε-Nを使った証明は割愛しました。もし、そちらが必要なら、補足欄へその旨どうぞ。

kumipapa · Answer

自明と思えるものを証明するのは、なかなか厄介ですよね。
ですが、その自明というのは直感的に自明と思っているだけで、本当にそうなの？ということを確かめたい。

そのためには、ベクトルの収束 Xn→X や、Xni→Xi をきちんと定義しなければなりません。その代表が、ε-N でしょう。
dm(x,y) を m 次元ベクトルの距離関数として、Xn が X に収束するということは、
1）　任意のε＞0 に対してある自然数　N が存在して、∀n＞N で dm(Xn, X)＜ε
となることです。このような定義の仕方は習っていませんか？

一方、ベクトル Xn の各要素が X の各要素に収束するということは、d1(x,y) を1次元空間の距離関数として、
2）　任意の ε＞0 に対してある自然数 Ni が存在して、∀n＞Ni で d1(Xni,Xi)＜ε
となることです。
こうしてみると、Xn→X と Xni→Xi とはだいぶ様子が違いますね。
1) は、どんなに小さな　ε＞0 をもってきても、ｎ＞N で Xn と X の（ベクトルの）距離が ε 以下になるなるような N が存在する。
2) は、どんなに小さな ε＞0 をもってきても、n≧Ni ならば各要素の距離は ε 以下となるような　Ni が各成分ごとに存在する。
1)と2) の違いは、1) はベクトルとベクトルの距離を問題にしているのに対して、2) は各成分の大きさの差を問題としている点。また、2)では、各成分が収束するとき、その収束する速度が同じであるという保障がない、つまり、n＞Ni で |Xni-Xi| ＜ ε となる Ni が各要素について異なる。

ということで
Xn→X ならば Xni→Xi, i=1,2,...m を証明するということは、比較的容易に示せますが、
Xni→Xi, i=1,2,...,m ならば Xn→X を示すのは、それなりにわかっている必要があるのだろうと思います。とはいえ、そんなに難しい話ではありません。教科書に、そういう記載は無いですか？
もし、ε-N で収束を表現する方法を習っていなくても、距離関数 dm(x,y), d1(x,y) の定義をちゃんとして、dm(Xn,X) → 0 ならば d1(Xni,Xi)→0, d1(Xni,Xi)→0 ならば dm(Xn,X)→0 を示せばよいでしょう。
いずれにせよ、定義すべきをちゃんと定義して、具体的に示すことが必要です。

以上を踏まえて、もう少し分からない点を具体的にしてください。

確率収束について

＞ 確率収束Xn→Xは、∥Xn－X∥→０

この回答への補足

あんまりじらしても悪いから、結論を回答してしまいます。

自明と思えるものを証明するのは、なかなか厄介ですよね。

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