仕事を頑張る人のおしりトラブル対策

【楕円面
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1
の囲む体積を求めよ。

という問題があるのですが、私は最初、
V = 8∫[b,0]∫[a√(1-y^2/b^2),0]z dxdy
という式を立てて解こうとしたのですが、積分がうまく出来ませんでした…。

解答をみると、断面積をもとにして立体の体積を求める。…x=tで立体を切ると…

という解きかたで解いていました。

私のやり方では解けないでしょうか?あるいは、そもそも式の立て方が間違っているでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

> そもそも式の立て方が間違っているでしょうか?


間違いです。
dxdyの積分の中になぜzがあるのですか?

a,b,c>0として
V = 8∫[0,b]dy∫[0,a√(1-y^2/b^2)] c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2) dx
簡単のためにX=x/a,Y=y/bとおくと
V = 8abc∫[0,1]dY∫[0,√(1-Y^2)] √(1-X^2-Y^2) dX
ここでX=r cosθ,Y=r sinθ とおくと ヤコビアン|J|=rより
dXdY=rdrdθ
V = 8abc∫[0,π/2]dθ∫[0,1] r√(1-r^2) dr
= 8abc(π/2)*[-(1/3)(1-r^2)^(3/2)] [0,1]
=4abcπ/3
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この回答へのお礼

皆さん回答ありがとうございます。
すみません。一応zというのは楕円面の式をz=にしたときの右辺のつもりでした。

お礼日時:2008/08/12 21:43

えと....


z の積分は?
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すいません、下の式が間違っていました。

下の式だと楕円体の表面しか表していません
x=arsinθ sinφ、
y=brsinθ cosφ、
z=crcosθ
(0≦r≦1)としなければなりません。θ、φの範囲はご自分でお考えください。
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積分の式はあっています。

図形の対象性から、x≧0、y≧0、z≧0の体積を求めてそれを8倍するというところはよい考えです。式はあっていますが、このままだと積分しづらいので、曲座標変換をするといいでしょう。

例えば、x=asinθ sinφ、y=bsinθ cosφ、z=ccosθ とするれば、積分は簡単になるはずです。そのとき、ヤコビアンの計算を忘れないようにしましょう。
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