No.1ベストアンサー
- 回答日時:
楕円の極座標表示を用いればよいと思います。
長軸がx軸と一致しているとしますと次のようになります。
x1=a cosθ、 y1=b sinθ
ここで、tanα=y1/x1 なので、tanθ=a/b tanα を上の2式に代入して、まずx1とy1を次のように表します。
x1=a/√{1+(tanθ)^2} =a/√{1+(a/b tanα)^2}
y1=b/√{1+(1/tanθ)^2}=b/√[1+{b/(a tanα)}^2]
次に、点(x1,y1)に於ける接線の方程式は、x1x/a^2+y1y/b^2=1 なので、接線の傾きの絶対値は (b/a)^2 x1/y1 ですから、βと次の関係があります。
tan(β/2)=(b/a)^2 x1/y1
∴β=2 arctan{(b/a)^2/tanα}
申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます
なるほど、媒介変数表示ならば、ある程度まとまった式で出せますね
とても参考になりました
No.2
- 回答日時:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 と
y = tan(α) x の連立方程式を解く。
原点対称に2つの解が得られるはずです。きれいな式になる可能性は薄いですが。
楕円の接線は
x1*x/a^2 + y1*y/b^2 = 1となるので、
傾きは - x1/y1 * b^2/a^2
となるので、
角度は対称性を考えて
2*arctan(x1/y1 * b^2/a^2)
になります。
具体的な計算はそちらでお願いします。
申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます
その方法で最初やっていたのですが、中々きれいな式にならず四苦八苦していたのです。
私の言葉足らずでした。申し訳ありませんm(_ _)m
丁寧な説明に感謝いたします
No.3
- 回答日時:
#1です。
>楕円の極座標表示を用いればよいと思います。
ごめんなさい。媒介変数表示 の誤りでした。
この表示の考え方を図示しているサイトがありましたので、よかったら参考にして下さい。
http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CTr …
No.4
- 回答日時:
削除されなければ良いのですが…
(x1,y1)は,
y1 = (tanα)x1
(x1)^2/a^2 + (y1)^2/b^2 = 1
の2つを連立させて解けば,
x1 = ±ab/√(b^2 + (a*tanα)^2)
y1 = ±ab*tanα/√(b^2 + (a*tanα)^2) (複合同順)
また,2接線の角度βについては,楕円方程式,
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
の両辺を x について微分すると,
2x/a^2 + 2y*y'/b^2 = 0
∴ y' = -(b/a)^2 * (x/y)
この式にx = x1 , y = -y1 を代入(y = y1 でもよい)して,y1 = (tanα)x1 より,
y' = (b/a)^2 * (x1/y1) = (b/a)^2 * (1/tanα)
これは,接線の傾きを表している.2つの接線はx軸で交わり,x軸はβを2等分するので,
tan(β/2) = (b/a)^2 * (1/tanα)
2倍角の公式より
tanβ = 2tan(β/2)/{1 - (tam(β/2))^2}
= 2tanα*(ab)^2/{a^4 * (tanα)^2 -b^4}
如何でしょうか.
申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます
その方法で初め計算していたのですが、キレイに出なかったの諦めていたのですが・・・出ましたか
私の計算力不足のようです
とても参考になりました
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