三角比の拡張でつまづいています

三角比の拡張を考える時、単位円の円周上を時計の反対廻りにまわる点のPがx軸と作る角度をβとする時、点Pの x座標は点Pがどの象限内にあっても　Cosβ　と表してもいいのですか。お教えください。---加法定理の証明の途中でつまづいています。8０の痴呆老人が高校数学を勉強し直しています。

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/25 14:51

まず訂正

β=225やβ=-135では
P(-1/√2,-1/√2)になりますね
従って
β=225°
x=-1/√2
r=1
を当てはめて
cos225°=-1/√2

β=-135°
x=-1/√2
r=1
を当てはめて
cos225°=-1/√2
というのが正しいです


それと、もひとつ

「そのような時は点Pのx座標は－cosβと記すべきなんですか？お教えください。」
＞＞＞
これについては、こんがらがってしまう方がいますが
xもβもプラスマイナスの両方を取ることができる変数という場合
いくら　βはマイナスの値である
と言われても文字式で表す場合には
文字はプラスの値を持っているというつもりで
式を作ると間違うことは少ないかと思います

→　βがマイナスの角度のときPのｘ座標を式で表せ！
とい出題では
マイナスに惑わされず（各文字がプラスだと思って）立式して
x=cosβ…①
このようにしておけば良いのです
マイナスのβを変に意識して
x=-cosβ…②とすると
これは誤りです
試しに　β=-135°代入で確認してみると
たしかに②は誤りで①が正しいことが分かります

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/25 14:24

直角三角形で考えるのが三角関数（三角比)の

狭い意味での定義です

対して　以下は広い意味の定義

原点Oが中心で、半径rの円周上の点をP(x,y)として
x軸の正の部分から反時計回りに角度βとなる位置に
半径（動径）OPがあるとき
cosβ=Pのx座標/半径＝x/r
と決める
(ちなみに　sinx=y/r)

決めごとなので、
どうして？と考えたり
狭い意味の定義＝直角三角形を使った三角比
を無理やり当て込むようなことはしないで
まずは、素直に　cosβとは上記の決まりがある
関数なんだと思って受け入れておくのが良いかと思います

この決め事にそって
半径１の単位円上でのcosβについて考えてみます
まずは　OPをx軸の正の部分に重ねます
そして、原点を回転軸にして
OPを225°反時計回りに回転させます
すると　Pは座標(1/√2,-1/√2)の位置に来ます
（この座標は図形を利用して計算で求められますが
本質的には　225度回転では
Pは(1/√2,-1/√2)の位置に来るように
この宇宙ができている　
ので、なぜPはこの座標に来るの？
とあまり引っ掛からないほうが良いのかもしれません）
このときβ=225度ですので
決めごとの式に
β=225°
x=1/√2
r=1
を当てはめて
cos225°=1/√2
ということになります。

では、OPをx軸ら135°時計回りにに回転した場合は
どうでしょうか？
先ほどと同じく　Pの座標は(1/√2,-1/√2)の位置に来るので
時計回りという事でマイナスの角度にして
β=-135°
x=1/√2
r=1
を当てはめて
cos(-135°)=1/√2
ということになります。

これがβがマイナスの場合の扱い方です

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/25 13:44

三角比を拡張して三角関数を作ると思うからややこしいのでは？

最初から単位円で考えて、単位円と偏角θの動径の交点を(cosθ,sinθ)と置く。
このようにしてcosとsinを定義すると、たまたま0<θ<π/2=90°の場合には
三角関数cosθ,sinθの値が三角比COSθ,SINθに一致する...と。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/25 10:02

どの象限でも良いですよ

また、βが360度を超えても構いません
反対に、マイナスになることもありますよ
テキストに
三角関数の定義
が、載っていますので
必ず読んでおく必要があります
定義を理解されれば、今回の貴方のご質問も自己解決できるかもしれません
なお、まだ疑問な点あらば
再度、質問ください

この回答へのお礼

ありがとうございます。ちょっと気になったんですが。「マイナスになることもあります」と書かれていますが、cosβ の値が第2、第3象限にある時はマイナスになるという意味ですね。そのような時は点Pのx座標は－cosβと記すべきなんですか？お教えください。

お礼日時：2022/06/25 12:40

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/25 09:59

良いです。

というかそのようにCosを拡張するというです。
単位円上の点の座標を(cosβ、sinβ)
として、cos、sinを再定義します。

この回答へのお礼

早速の応答感謝します。と定義するんですね。π/２を超えた角度の時三角形がどこに出来るのか理解できませんでした。---ある意味、頭の中で無理やり作った三角形をもとに比を考えるのですね。

お礼日時：2022/06/25 12:33