数学

二次方程式x^2-2kx+k+6=0の解が次の条件を満たすような定数kの値の範囲を求めよ。
１、異なる２つの正の解をもつ。
２、異なる２つの負の解をもつ。
３、異符号の解をもつ。

グラフを使って解きたいのですが、どうやればいいのですか？
判別式
D＝(k+2)(k-3)＞0
k＜-2,3＜k
までやりました。

No.2 ベストアンサー 回答者： hatake333 回答日時： 2008/10/20 01:22

　x^2 - 2kx + k + 6 = 0

を次のように，k を含む項と含まない項で左辺と右辺に分けて変形します．
　x^2 + 6 = 2kx - k
これは，
　y = x^2 + 6　…(1)
　y = 2kx - k　…(2)
との交点のx座標を求める方程式と解釈できるので，
もとの2次方程式の解は，上の2次関数と直線との交点のx座標として求められます．
したがって，
>１、異なる２つの正の解をもつ。
となるには，
(1) と (2) が x ≧ 0 の部分で異なる2点の交点を持たないといけません．
すでに，
　> 判別式
　> D＝(k+2)(k-3)＞0
　> k＜-2,3＜k
が求められていますので，異なる2点は持っています．
あとは，x ≧ 0 の部分で交わるための条件を考えればよいので，
グラフから，(2)の傾きが正で，かつ，y切片が6より小さければよいので，k > 0 かつ -k < 6 となります．
　∴　k > 0
判別式の条件と併せると，3 < k となります．

>２、異なる２つの負の解をもつ。
これも同様に，(2)の傾きが負で，かつ，y切片が6より小さければよいので，k < 0 かつ -k < 6 となります．
　∴　-6 < k < 0
判別式の条件と併せると，-6 < k < -2

>３、異符号の解をもつ。
異符号を持つためには，(2)のy切片が6より大きければよいので，
　-k > 6
判別式の条件と併せると，k < -6

となります．

No.4 回答者： nious 回答日時： 2008/10/20 10:28

ちなみにグラフを描かないで、そのまんまストレートにやると次のように冗長になります。

x=k±√(k^2-k-6)、2つの解が異なる実数解になるには、k^2-k-6＞0 → -2＜k、k＞3 …(*)

(1)小さい方の解が、k-√(k^2-k-6)＞0を満たせばよい。
k＞0を条件として両辺正だから k＞√(k^2-k-6) → k^2＞k^2-k-6 → k＞-6よりk＞0、これと(*)から k＞3

(2)大きい方の解が、k+√(k^2-k-6)＜0を満たせばよい。
k＜0を条件として両辺負だから k＜-√(k^2-k-6) → k^2＞k^2-k-6 → -6＜k＜0、これと(*)から -6＜k＜-2

(3)解と係数の関係から2解の積=k+6＜0 → k＜-6、これと(*)からk＜-6

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/10/20 10:12

＞グラフを使って解きたいのですが、どうやればいいのですか？

グラフを使うなら、x^2＋6＝2k（x-1/2）と変形して、2次曲線：y＝x^2＋6と直線：y＝2k（x-1/2）との交点を考える事になる。
この直線は、定点（1/2、0）を通る直線だから、傾き：2kがどのような条件を満たすべきかを考える事になる。

但し、この問題に限ればグラフより方程式で考えた方が簡単だろう。

2つの解をα、βとすると、解と係数の関係を使って、
＞１、異なる２つの正の解をもつ。

判別式＞0、α＋β＞0、αβ＞0であれば良い。

＞２、異なる２つの負の解をもつ。

判別式＞0、α＋β＜0、αβ＞0であれば良い。

＞３、異符号の解をもつ。

αβ＜0だけで良い。何故かというと、α＋βの正負は不明。
しかも、判別式＝（α＋β）＾2-4αβ＞0　（（α＋β）＾2≧0、αβ＜0）であるからね。

どっちが簡単な方法か　→　数式だけでやるか、グラフでやるかは、case　by　caseで考えたら良い。

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/20 01:07

　あとは、次の条件を加味して求めて下さい。

１、異なる２つの正の解をもつ。

　　y=f(x)=x^2-2kx+k+6 の軸のx=kが正　かつ　f(0)＞０
　∴ k＞０　かつ　k+6＞０
　∴ k＞０　　（判別式の条件を加えると　k＞３）

２、異なる２つの負の解をもつ。

　　y=f(x)=x^2-2kx+k+6 の軸のx=kが負　かつ　f(0)＞０
　∴k＜０　かつ　k+6＞０
　∴-6＜k＜０　　（判別式の条件を加えると　-6＜k＜-2）

３、異符号の解をもつ。

　　f(0)＜０
　∴k+6＜０
　∴k＜-6　　　（判別式の条件を加えると　k<-6）