数的推理の問題

数的推理の問題です。
『A君の所属するクラスは50人の生徒がおり，クラス委員長と副委員長を選挙で選ぶ。A君を含め5人が立候補した。生徒1人1人が立候補者5人中2人に必ず投票し，得票数の多い2人が委員長と副委員長になる。上位で同数の場合はくじ引きで決める。A君が他の4人の得票数が分からないまま自分の得票数のみ知らされたとき，何票以上で委員長か副委員長に必ず当選し，何票以下のとき落選（どちらにもなれない）と分かるか。』
●A君が半数の50票取れば，A君以外の誰かが1人残りの50票全部取ったとしても，この2人のくじ引きになるから，A君は当確になります（生徒全員が同じ2人に投票したとき）。
●立候補者5人が20票ずつ取れば全員でくじ引きですから当確でも落選確実でもありません。
どのように考えて解けばよいのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： kabotya636 回答日時： 2008/10/25 15:48

当選確実は、最悪の場合を考えます。

つまり、これだけの票をとったにもかかわらず、当選できない場合です。
33票の場合、(34,33,33,0,0)で確実にはならない。
だから、34票が当選確実となります。
次に、落選確実はもっともラッキーな場合を考えます。
一人が50票とって自分がぎりぎり2位になる場合です。
13票だと(50,13,13,12,12）などで確実でない。
でから、12票が落選確実の最高票です。

この回答への補足

この問題は、100人が1人1票ずつ投票する場合とどう違うのでしょう。
その場合は
Ａが零票でも落選確実ではない(0・0・0・0・100)
Ａが半数票で当選確実(50・50・0・0・0)
となりますか？

補足日時：2008/10/25 16:37

この回答へのお礼

早々の回答ありがとうございました。
簡潔な具体例で直感的に理解できました。

お礼日時：2008/10/25 16:30

No.3 回答者： kabotya636 回答日時： 2008/10/26 00:25

Ａno.2のかぼちゃです。

落選確実は良く解けました。
当選確実は前と同様34でいいですね。
もう一度考え直してください。

この回答へのお礼

重ね重ねありがとうございます。
なるほど100人100票の場合も、Aが34票取れば残りの誰か2人合わせて66票でも(0,66)，(1,65)，…(33,34)，(34,33)，…(66,0)となり、Ａの34票を超えられない（つまり当確）ということですね。分かりました。

お礼日時：2008/10/26 08:10

No.1 回答者： jokyoju 回答日時： 2008/10/25 15:38

まず問題を整理しましょう。

全体の票数は一人２票で５０人だから１００票
文意から生徒一人一人は同じ名前を書かないと考えられるので
一人の人が獲得できる最高票数５０票

当選者は２人であるということは３番の人より多く票数をとればよいので
３番の人の票数をｎとするとｎは当然１番２番の人よりも少ないので
３ｎ≦１００よりｎは整数であるので３３以下となる
つまり３３より多くとれば当選するので３４票とれば確実に当選

落選は２番目の人より票数が確実に少なくなればよい
２、３、４、５番の票数の合計は
１００－（１番の票数）となる
１番そ票数は５０以下なので
２、３、４、５番の票数の合計は５０以上となる
２番の票数をｍとすると
ｍは３，４，５の獲得した票数よりも多いので
５０≦（２、３、４、５番の票数の合計）≦４ｍ
ｍは整数なのでｍは１３票以上
つまり１２票では２番の人より確実に少なくなる。

この回答への補足

この問題は、50人が1人1票ずつ投票する場合とどう違うのでしょう。

補足日時：2008/10/25 16:37

この回答へのお礼

早々の回答ありがとうございました。
３ｎ≦１００と５０≦４ｍの発想がシビレました。でも初めはピンときませんでした。私はまだ修行が足りないようです。

お礼日時：2008/10/25 16:25