A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
漸化式が有限の価に収束する必要条件は、a(n)とa(n+1)の差がだんだん
縮まっていくことなので、a(n+1)=a(n)が解をもつ必要があるのはわかりますか?
y=xとy=(√2)^xのグラフを描いて考えてみると交点はx=2,4なので
収束するなら2か4だなと見当が付けられます。
まずy=xの直線上に座標(a(1),a(1))=(1,1)の点A(1)をとります。
そこから上に向かってy=(√2)^xのグラフと交わったところをB(1)とします。
するとB(1)の座標は(a(1),a(2))です。
さらにそこから右へ行きy=xとぶつかる点をA(2)、
そこから上に行きy=(√2)^xとぶつかる点をB(2)、
…とジクザグに進んでいくとだんだん点P(2,2)に吸い込まれていくのがわかります。
点A(n)の座標は(a(n),a(n))ですから、n→∞のときA(n)→Pであることは
a(n)→2ということを意味します。
うまく収束した理由は、全てのnで次の式が成り立っていたからです。
|2-a(n+1)|≦c|2-a(n)|、 0≦c<1
つまりnが1増えるごとに2とa(n)の距離が一定の公比c(0≦c<1)以下で縮んでいけば
|2-a(n)|≦c^(n-1)|2-a(1)|
となり、n→∞のとき|2-a(n)|→0、つまりa(n)→0が言えます。
実は上に書いた式は
|2-a(n+1)|/|2-a(n)|≦c
と書き替えると、
左辺は先程の点Pと点B(n)を結ぶ直線の傾き(の絶対値)を表しています。
B(n)の座標は(a(n),a(n+1))だからですね。
この傾きはx<2の範囲では点Pにおけるy=(√2)^xの接線の傾きlog2より
小さいことが図からも何となくわかります。
あとは区間(x,2)に平均値の定理を使って実際にc=log2とできることや、
a(n)<2ならa(n+1)<2となることなどを示してください。
この回答へのお礼
お礼日時:2009/01/25 22:23
ご返答ありがとうございます。大変わかりやすい説明で、勉強になりました。極限値に関しては、プログラムを組んで計算してみたりしたので、2に近づくというあたりをつけていたのですが、そこに導くまでのプロセスがわからなかったので、助かりました。どうもありがとうございました。
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