宇宙の曲率とは？

　宇宙の曲率が正であれば、宇宙はいずれ収縮するとのことですが、
これはどう理解すればいいのでしょうか？
　一般相対性理論の時空の曲率が正→引力が優勢、と考えるのでしょうか？

　よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： fufukffk 回答日時： 2009/03/25 12:41

宇宙の曲率とは、共動座標系における空間の計量成分の符号のこと。

つまり、宇宙の伸縮に合わせて自身の体が伸び縮みする観測者が、
宇宙を見渡して主張する空間概念。
よって、一般には、我々、地球人には彼らのもつ空間概念を直感的に、
理解するのは困難。
ところが、膨張速度が遅く、万有引力に負けて静止してしまう瞬間に
おいてのみ、我々と伸縮観測者とはその空間概念を共有できる。
そして、その瞬間の空間曲率はシュバルツシルドの内部解によって、
明らかに「正」であることが知られている。
フリードマン宇宙のモデルは、曲率の符号がどうであれ一定値を
取るので、伸縮観測者が主張する宇宙の曲率も時間的に不変。
つまり、宇宙が静止する瞬間に「正」の曲率を共有する伸縮観測者は、
その前後の時刻においても、常に「正」の曲率を主張するはず。
結局、宇宙がいずれ収縮するならば、宇宙の曲率は「正」と言える。

ちなみに、空間の曲率を計量成分で判別する場合、引きずり効果の項を
キャンセルした計量方程式を使わねばならない。
なぜならば、そもそも、各準拠点が互いに同時刻空間を共有している
ような座標系でなければ、曲がってるだの真直ぐだのと、曲率と言う
空間概念そのものに対し、こだわる意味が無くなるからである。

No.1 回答者： pasocom 回答日時： 2009/03/24 18:19

ここで簡単に説明するのは難しいですね(^^)。

よく例えられるのは、曲率が正の空間とは球の表面のような「果てはないが限りはある空間」で、負の空間とは鞍状の曲がり方で「果てもないし限りもない空間」だそうです。
宇宙に物質が一定以上に存在すると宇宙の膨張力よりも物質の引力の方が勝り、宇宙はやがて収縮に向かうと言われています。この宇宙の曲率は「限りある正の曲率」です。
逆に一定以下だと膨張力が勝って、宇宙は限る無く膨張（拡張）してやがて薄まってしまうのだそうです。この場合の宇宙は「限りのない負の曲率を持っている」といいます。

この回答への補足

　早速のご回答、ありがとうございます。
簡単に説明することが難しいこと承知の上でお聞きしているのですが、
書物やウェブでは、曲率が定義のように書かれていて、困っています。

　空間ではなく時空として「限りがある」ということが、
なぜ宇宙が収縮することになるのか（時間として限りがあるため、終焉を意味するということでしたら、なんとなくは理解できます。）、
やはり直観的に理解するのは難しいのでしょうか？

補足日時：2009/03/24 18:27