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現実の宇宙ではなく仮想の宇宙です。その宇宙は相対性理論は成立するとします。
その宇宙は膨張も収縮もせず、また、完全に平坦です。そして、構造は三次元トーラスになっています。ちなみに、二次元トーラスはドーナツの表面のような閉じた世界で、真っ直ぐいくともとのところに戻ってくるような世界です。ただ二次元トーラスは曲がっていますよね。しかし、三次元トーラスというのは、閉じているにもかかわらず空間が平坦なままなのだそうです。ゲームの世界で端っこと、反対の端っこがつながっているような感じです。
前置きが長くなりましたが、
そんな世界での双子のパラドックスをするとどうなるのかと思って質問したくなりました。
・・・・・
その宇宙で、双子の兄弟がそれぞれ宇宙船で亜光速で逆方向に等速直線運動をしています。
あるとき、兄弟はすれ違います。兄弟はどちらも20歳です。
ここからは、兄の立場にします。兄が40歳のとき、再び弟とすれ違いました。なぜ、スレ違うかというと、宇宙が閉じているからです(しかも平坦なまま閉じています)。
このとき、弟の年齢は40歳よりも若いでしょうか。それとも、兄と同じ年齢でしょうか。
それを確かめるために、すれ違うとき、兄は弟に無線で「僕はいま、40歳だけど、君は何歳か」と訪ねます。弟からはどんな返事がくるでしょうか。
普通の双子のパラドックスは弟が地球で待っていて兄は旅にでますが、兄は出発時と折り返し時と帰還時に加速度運動をするため2人の運動は対称ではありません。しかし、これの場合、対称です。
平坦な宇宙で等速直線運動をするというだけで、兄と弟は再開できてしまいます。
特殊相対性理論では、相手の時間が遅く進むのは、お互い様です。
兄からみると自分が40歳で、弟は40歳よりも若いし、弟からみると自分は40歳で兄は40歳よりも若いのではないでしょうか。
それが、再会できなければ、何の問題もないですが、この世界では(すれ違うとき)再会できてしまいます。
兄が「君は何歳だ？」と聞いたら、弟の返事はどんなものになるのでしょうか。
一方、二人は対称な運動をしているのだから、年齢がズレるのは変な気もします。
どうなるのか、教えてください。
No.6ベストアンサー
- 回答日時：
No.3へのコメントについて。
> 空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら
おっしゃる通り、空間全体の平均曲率が0であることは肝心な仮定ですね。もうひとつ重要なのが、因果律が成り立つ宇宙だ、という仮定です。
因果律が絶対破綻しないという前提があるからこそ「矛盾している」という概念が意味を持つ。ゲーデル解ではそれすらも怪しくなるわけです。
> 一般相対性理論を考えなくていいように
別に重力の話をしているわけじゃありません。ゲーデル解は、「少なくとも一般相対性理論には矛盾しない」という意味では自己矛盾していない時空のひとつである。それに比べれば、ご質問にある想像の時空はちっとも突飛な話じゃない、ということを言ったまでです。
逆に、ご質問のように「時間にはループがなくて、空間だけが等方的なトーラス」である平均曲率0の時空なら、No.2で話は尽きていると思います。
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#2
＞平坦なトーラス時空と特殊相対性理論は両立しない、ということの端的な証明になっていると思います。
というのから、ここまで、現在、あなたのご回答が正しいのかなと思います。つまりは、「相対性理論が成立するとします」という仮定をおいたこの質問が成立していないということですね。もうひとつは「一般相対性理論では扱えるのかなぁ」という思いはあります。
No.49
- 回答日時：
ストレートに答えたくないのは、貴方が納得させるには前提知識の説明など膨大な説明が必要だからです。
貴方が納得できていない話の中に、トーラス上の相対論に特有の話は何一つありません。だからそこら辺の教科書などで前提知識を勉強する所から始めるよう言ってるんです。貴方にとってもこう言う場の回答より教科書の方がわかりやすいのは間違いないから、勉強を回答としているのです。
貴方が何を言おうが、貴方だけのために教科書をここに書くのは無理だという点に変更はありません。貴方はそのような事を求めてるつもりはなくても、求めているものはそうなっています。こういう時の貴方の考える規約違反にならな回答とはどういうものなんですかね。
私には無視しか思い浮かばないので以後そうする事にします。もう一つの方も何か応答はあったようですが、一緒に無視が楽でいいですね
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答えを教えてくださいという質問はなしですか。
もうひとつの質問も定義定義などと言わずに、定義があやふやなら定義して回答をお願いしたいです。私の定義は「望遠鏡で見るための光だけ」は瞬時に届くと設定したら、それで見た相手の時刻はどうなるかと言うことです。それがダメなら変えてもらってかまいません。あちらの答えと、この質問におけるあなたが出した式を比較してみたいです。それは意味のあることだと思います。
No.48
- 回答日時：
どの回答の事を念頭に置いてるの分からない(探してもないですが)ので、何と違うと聞いてるのか全く分かりませんが、
基礎的な部分で誤解があった以上、その誤解がさらなる誤解を生んでる可能性もあるんですよ。だから一度勉強し直さなきゃね、と言ってるだけです。勉強したくない理由でもあるのですか？
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勉強というか私は学生でも何でもなく面白いと思うことを聞いています。ここは啓蒙したり説教を言ったり聞いたりするサイトではなく、質問して回答するサイトです。答えずに勉強してくださいというのは利用規約に抵触する可能性があると思います。質問者が答えを求めている場合、何はともあれ答えを回答するのが回答ではないでしょうか。それと、やりとりで発生したことで、分かることは教えてください。もしかして、分からないということはハッキリ分からないと言ってください。そうしたら、その方面は聞かないようにします。私は分からないことは分からないと言っています。その方が分かりやすいです。スルーされたら引っ掛かりが溜まります。聞いたことにストレートで答えたくない理由でもあるのですか。
No.47
- 回答日時：
#46お礼の最初のやつだけ。
他は先に勉強して下さい。例えば1×5=5と計算している人がいて、後に「×という記号は前後の数字のうち大きい方を選ぶ記号だ」と考えている事が分かったとします。
最初の1×5=5は結果は正しいから何も問題ない、という話にはなりませんよね。
たまたまあっていた、または、何処かに書いてあってたのを書き写しただけのような状況で、掛け算の記号の意味を理解して1×5=5としていた訳ではないのは明白です。だから、1×5=5の部分も貴方の理解は間違ってる、という事を言ったのです。
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No.46
- 回答日時：
貴方の問いに答えても意味はなさそうなので、同じ話を繰り返しますが
私に聞く前にまずは勉強して下さい。
質問のレベルに貴方の知識レベルが追いついていません。今の貴方が納得できるような説明は無理です。
何故その結論かと考えたいのなら前提知識を身に付けて貰うしかありません。
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もう終わりなのですね。いろいろありがとうございました。
私としては、まだ、心残りはありありなのですが。
＞兄と弟が出会った時に兄の時計が○○だった、弟の時計が××だった。これらの見解が万人に(特に兄と弟に)共通であるというのが質問(双子のパラドックス)の前提にあります。
この前提が何故正しいのかを知らないまま、この前提は正しいと受け入れていた事になるはずです。
意味が分かりません。
あなたは、「私はこの前提は正しいと思っている」と思っているのですよね(実際に私は思っています)。
それで、この質問は、その前提になっているということですよね。
その前提は正しいのですか。間違っているのですか。正しくて、私が正しいと思っているのなら何が問題ですか。正しい理由を知ったらどうなるのですか。
なぜ正しいかというと、起きたことは変えようがないからです。
それと、逆に、あなたの話は、出来事への見解が万人の共通になってないように思うときがあります。
兄の時刻がいつで弟の時刻がいつのときにスレ違ったという出来事が分身なるものを使っているので変に見えます。そもそも兄と兄の分身は別人というところからして、意味が分かりません。どういうことで別人という言い方をしているの教えてください。本当の別人という意味ならますますわからなくなりますが、そうではないですよね。
これも教えてください。
平坦トーラスは相対性理論で扱えるという前提のもとに質問していますが、そもそも前提は正しいのですか。正しくなければ無理矢理に当てはめることになると思います。どんな理論でも扱えるフィールドがあると思うので。あなたは、正しいという見解なのか、それとも、質問の前提がそうだから、当てはめようとしているのか、正しいという確証は何なのか、別のソースがあるのか、など、教えてください。
No.45
- 回答日時：
貴方が何を考えたいのかよくわかりませんが、私がゲームの世界を一周する話を持ち出したのは、
相対論では一周先の自分と同時刻かどうかという話の対比のためなので、ゲームの世界でも一周で戻ってこれるかという話を考えています(だから一周した後にどこにいるのかという事を聞いています)
あまり話を複雑にしないようにと設定も説明も端折ってますが細かい事が気になるのなら、y方向の周期性はない(時間軸方向の周期性はないので)という事にして下さい。
一般相対論云々について、答える意味が見いだせないのですが。人の話を鵜呑みにしないのは良い態度だとは思いますが、結局の所は単に腑に落ちないのを一般相対論で扱えないせいにしたいだけですよね？
気になるのならまずは(可微分)多様体の勉強をして下さい。
なお、私の書いたやり方は一般相対論に基づくアプローチとは異なります。が、一般相対論に基づくやり方に翻訳できる事、最終的に同じ結論になる事は自明なやり方です。
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＞貴方が何を考えたいのかよくわかりません
あなたが斜めに行くとどうなるかと聞くのでそれを考えただけです。それ以上でも以下でもありません。斜めに行くと完璧に元の位置に戻る場合もあるし、ほぼ元の位置に戻る場合もあります。私的にはそれで何？という感じです。
＞だから一周した後にどこにいるのかという事を聞いています
一周とはどういう定義ですか。ある方向にいくと元の位置に戻ったら一周ですか。それだと一周の距離は方向によって違います。
＞y方向の周期性はない(時間軸方向の周期性はないので)という事にして下さい。
それだと、いっそ空間1次元にすればいいと思います。しかし、1次元にトーラスというものがあるのかは知りません。あと、私は空間の構造が平坦トーラスと言っています。空間の構造を言うときはその世界の静止系的な視点で時間軸で切り取った断面(つまり至るところが同時刻での空間の構造)だと思います。
＞一般相対論云々について、答える意味が見いだせないのですが。
円運動を考えたときの何かの変数か定数を直線的にすればいいのでは？と思いました。それでも周期性は生きていなければいけません。
＞一般相対論で扱えないせいにしたいだけですよね？
いいえ、平坦トーラスが一般相対論で扱えるのかどうかは、知りません。腑に落ちないので、もしかして扱えないのでは？という疑いが芽生えています。そうするとこの質問自体が成立しません。あなたは扱えるというので、ここまで長いやりとりになっています。
＞最終的に同じ結論になる事は自明なやり方です。
自明と言われても、私には自明ではありません。
尚、局所的に特殊相対論が成立するというのは一般相対論になおすと普通は位置でいうとΔx→0という極限で成立し、それを広い範囲に連結していくものだと思います。これの場合Δxがどこまで大きくていいのかが分かりません。ある点のごく狭い近傍では成立しそうだな、ということだけです。
No.44
- 回答日時：
一つや二つではありませんが、決定打は同一地点同一時刻の件ですかね。
兄と弟が出会った時に兄の時計が○○だった、弟の時計が××だった
これらの見解が万人に(特に兄と弟に)共通である
というのが質問(双子のパラドックス)の前提にあります。
この前提が何故正しいのかを知らないまま、この前提は正しいと受け入れていた事になるはずです。
これは相対論のあちこちで使っている話(例えば光時計なら鏡での光の入射と反射が同時とか)ですが、ある程度理解が進めば当然の事として扱ってしまっていちいち言及していないこの方が多いでしょうが、初学者向けの教科書の最初の方には書いてある事の方が多いのでは？と思います。(具体的に調べた訳ではありません)
相対論の雰囲気だけ知りたいのならそこまで意識しなくても良いかなーとは思いますが、貴方が知ろうとしているレベルの話をするには欠かないでしょう。
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シンガポールから斜めに進んでシンガポールに戻るかということに関する私の見解は、別のお礼欄(#4と#5)に書いてあります。再掲すると、縦と横の比が同じ長さの場合、y=axのaが有理数の場合には同じ位置に戻ります。aの値が少し違うだけで、元の位置に戻れなかったり、戻れたとしても1周期の長さがバラバラです。これについて、どう考えたらいいですか。
あと、
あなたが本質問は一般相対論で解くべきというからには、とりあえず円運動がベースになって、それをアレンジするようになるのでは？と思います。よかったら教えてください。
↓
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13332551.html
↑想像できます。自分の時刻に対してなめらかに相手の時刻が離れるようになり、途中から時刻がなめらかに近づくようになり自分と同一場所にいるときは時刻が一致するのだろうと思います。違いますか。でも本質問の場合は直線的に時刻がズレていき、同一場所にいるときは、知らない間に時刻が一致するということが起きてしまいます。
円運動の場合、分身などいないけど周期性があります。本質問でも周期性があります。
これは、相対論の範疇ではないのではないでしょうか。一般相対論なら大丈夫なのですか。扱えるということは、平坦トーラスがアインシュタイン方程式から出てこなければいけません。パラメーターは重力や斥力(宇宙項)だと思います。非現実的な設定でもいいので、パラメーターがどんな配置のときに平坦トーラスになるのでしょうか。例えば、閉じた宇宙というのは重力と斥力が均等に分布し宇宙が収縮しないように釣り合っている状態だと思います。では、平坦トーラスは？ということになります。そんな非線形的な世界は作れないなら一般相対性理論で扱えないような気もします。物理学が要請する前提が平坦トーラスの構造と合わないのかもしれません。ちゃぶ台を返すような話ですが、どんなんでしょうか。
「質問自体が成立していないかもしれない」と投げかけたこともあります。でも、あなたは一般相対論でなら解けるとおっしゃっていました。
そして解き方を書いていただきました。それを読んだとき、本当にこれは一般相対論なのか？、特殊相対論と周期で帳尻を合わせるようにして解くのか？、両者は同じことなのか？と思いました。そのあたりは、どうなんでしょうか。
No.42
- 回答日時：
実質的にトーラスとは何か知ってる？と聞いているだけですが。
それすらわからないのだと理解しますが、前提知識が無い状態で考えても永久に理解できないでしょう。
ご質問の件について理解したいのなら最低でも幾何学(特にユークリッド幾何学、トーラスの初歩、ミンコフスキー幾何学)と、特殊相対論の勉強をしてください。
こう言う場で一から全てを説明するのは無理なので。
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トーラスというのは二次元でいうとドーナツの表面です。ドーナツの表面は三次元ユークリッド空間に埋め込んだ状態てみるとトーラスではあるけど平坦ではありません。
平坦トーラスというのは、その世界を同時刻で切り取ったときに、空間的に平坦で、ある方向にいくともとの位置に戻る空間です。それよりも何時元か上のユークリッド空間で作ることができます。
とにかく、時空のうち、空間で、空間の測地線にそって線を引くと線がつながる世界です。
単純にいえば二次元でいうとゲーム世界です。
これが私の考えです。
前提もそれです。
あなたは、何をもって平坦トーラスと言っているのですか。
トーラスを知っているかとおっしゃいますが平坦トーラスの正しいソースってあるのですか。
(私はウィキを参考にしました)
No.41
- 回答日時：
> x方向とy方向に進む割合が同じときに斜めに真っ直ぐ進みます。
x方向もy方向もつながっているなら、もとの位置に戻ります。繋がってない場合はあるんですか？あるならその時は元の位置に戻るのですか？
x方向の周期をLとして、
(x,y)=(0,0)からy=ax上を進むと(x,y)=(L,aL)に辿り着きます。x方向に1周期分進んだのでx=0にワープするはずですがワープした後の座標はいくら？
(x,y)=(0,aL)からy=aL上を進むと(x,y)=(L,aL)に辿り着きます。x方向に1周期分進んだのでx=0にワープするはずですがワープした後の座標はいくら？
※ユークリッド空間がベースの話もままならないなら、相対論の話は諦めて下さい
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私に何かを質問するということではなく、あなたが思うところを答えとして提示していただいて、だから、私の聞き方は変だとか、私の結論は変だと言っていただけると嬉しいです。私から矛盾を引き出そうとすると、それよりも時間がかかります。
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ご回答ありがとうございます。
まず、兄弟が再会するためには閉じた宇宙がほしかったです。
で、もしも、空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら、閉じているけど、よろしくありません。空間が曲がっている関係で、お互いに相手の年齢はズレていっても、宇宙を1/4周したあたりから、相手の年齢は自分に近付いてきて、スレ違うときには一致するような気がします。(たぶん、そうですよね)
平坦ということにこだわったのは、一般相対性理論を考えなくていいように、完全に等速直線運動をさせたかったからです。
ご回答ありがとうございます。
逆方向に飛んでいると書きましたが、平坦な宇宙では等速直線運動と静止は区別がつかないのではないですか。運動は相対的だから、兄は自分が静止していて弟だけが(例えば)0.9999cで飛んでいると見るし、弟は自分が静止して兄が0.9999cで飛んでいると見るのではないですか。で、0.9999cで飛んでいる物体の時間はゆっくり進むのではないですか。
＞大域的(global)には区別ができるという話をしてます。
つまり、その宇宙の絶対静止系みたいなものがあって、それに対する運動を考えるということですか。また、特殊相対性理論もうまく成立しないということですか。
宇宙に方眼用紙みたいなものはないのに、どうやって、絶対静止系というのを定義するのですか。
#4について。
＞前方と後方に同時に光を発射した時、それぞれの光が戻ってくるわけですが、必ずしも同時ではなく時間差があります。
この理屈がわかりません。
視点は兄なら兄においていいのですか。ここで、見立てとして、宇宙が空間的に同じものが繰り返していて、兄が分身の術のように複数いると見立てると、兄にとって、前にいる兄も後ろにいる兄も静止していると思います。そして、距離も前後で同じですよね。全てが静止し、同じ距離を一定の速度の光が進む時間は同じではないのですか。
＞宇宙が膨張して兄弟が離れてまた、収縮に転じて再会する場合も、
同じ時間経過してるので、同じ歳ですね。
それはそうだと思います。膨張と収縮は、2人の間の空間の目盛りが増えたり減ったりするだけで、いわば、兄弟はほとんど同じ位置で互いに静止していたのと変わらないのではないでしょうか。
＞反時計回り放った光が12時に到達するのは弟とすれ違った【後】の話です。・・・
この一連の意味がわかりません。時計まわりと言っているのは周回の位置をみるための便宜上で、あくまでも運動としては直線運動でいいのですね。
それはそれとして、
兄からみて弟の速度をv(亜光速)とするとc＞vです。だから、どちら周りでも光が一周する時間よりも弟が一周する時間の方が少し長くかかるのではないですか。
＞兄が放った光は兄から見て弟の元に同時に届くでしょうか？
弟には同時には届きません。弟を追いかける方向の光(時計まわり)は長くかかるし、弟の進行方向と逆の光(反時計まわり)は早く届きます。
＞弟視点にしたり光を弟が放っていた事にした時に結論は変わりますか？
特殊相対性理論では結論は変わらないように思います。兄の場合と同じだと思います。
それで、もし不都合が起きたらどう説明するかは私はわかりません
特殊相対性理論が成立する宇宙という設定です。ただし、構造が変なので、成立させられるかどうかは別です。そこが質問です。
普通の特殊相対性理論の世界、すなわち、平坦で無限に広い宇宙なら、兄と弟がすれ違ったあとは、離れるだけの状態で、これの場合、二人の運動が対称であっても兄の視点で自分が40歳のとき、弟は21歳だったりしますよね。弟の視点でもそうですよね。これで問題ないのが特殊相対性理論です。あくまで、観測者視点だからです。再会することもないですし。
この質問の場合、再びすれ違うことが発生してしまって、2人は同じ場所にいて、時間ロスなしに相手の年齢を聞くことができてしまいますが、特殊相対性理論によると、弟からは「21歳だ」という返事が来そうです。しかし、それはそれで、変な感じです。だから、よくわからなくて質問しています。
よく分からないので式で書きます。兄と弟は互いに相対速度vで逆向きに運動しているとします。兄からみても弟からみても宇宙1周の距離はＬとします(兄や弟の速度と宇宙一周の距離の関係はどんなときも同じか変化するかは私はわかりません。考える基準として宇宙を絶対静止みたいに想定できるのかもわかりません)
①兄の視点
・前方でも後方でも発射した光が兄に戻ってくる時間→Ｌ/c
・前方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c-v)
(発射と同時に届く光ではなくて、その次に届く光)
・後方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c+v)
②弟の視点
①の文章で兄と弟を入れかえたものになります。
何か問題はありますか。
あと、相手方の時間遅れは兄からみて弟でも弟からみて兄でも
t´=t√(1-(v/c)^2)なのが特殊相対論です。当質問の計算でこれを使うと不都合が起きたとしても、その解決法は私はわかりません。
分身と書いたのは、宇宙の距離を把握するための便宜上のことです。実際には、兄はここに１人しかいません。１人しかいないので、兄の時間t=0は1通りしかありません。弟も同じです。
冒頭に「互いに静止している2つの時計」を比べると書いてあるので流れでいくと、ここにいる兄と見えている兄の時計を比べる話かと思いきや、弟と比較しています。兄からみて弟の時計は運動しています。定義とは別の検証をやっていませんか。勘違いだったらすみません。
もう、これで補足を使い果たしました。終わりそうにないのが残念です。
質問に戻りますが兄弟の相対速度が0.99cだとし20歳の時にスレ違ったとします。すると特殊相対論では兄の視点で兄が40歳のときは弟は25歳ですよね。また、弟の視点で弟が40歳のときは兄は25歳ですよね。そのとき再びすれ違うようにします。至近距離ですれ違うという出来事は兄弟で共通しています。兄の視点で兄が40歳の時に弟に年齢を尋ねたら弟からは何歳という返事がきますか。
これ、わかりません。結論としては、平坦トーラスで特殊相対性理論は成立すると思いますか。しないと思いますか