数学

自然数m,n(m<n)の間にあって、7を分母とする既約分数の和は？

教えてください。

No.3 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/04/21 04:59

●　＃１，＃２です。

Σが使えないとちょっと説明に困つたけれど、次の公式はわかるだろうか？それがわかれば、理解できると思うのですが・・・
　　１からｍまでの自然数の和の公式
　　１＋２＋３＋・・・・・＋（ｍ－１）＋ｍ＝（１/2）・ｍ（ｍ＋１）

●区間[ｍ，ｍ＋１]（ｍは自然数）の中に有る分母が7の既約分数を考えて見ます。
ｍ＋（０/７）＝ｍ　　　　　　　：　ｍは自然数は既約分数でないから省く。

ｍ＋（１/７）＝（７ｍ＋１）/７　：　７ｍ＋１は７で割り切れないから既約分数。
ｍ＋（２/７）＝（７ｍ＋２）/７　：　７ｍ＋２は７で割り切れないから既約分数。
ｍ＋（３/７）＝（７ｍ＋３）/７　：　７ｍ＋３は７で割り切れないから既約分数。
ｍ＋（４/７）＝（７ｍ＋４）/７　：　７ｍ＋４は７で割り切れないから既約分数。
ｍ＋（５/７）＝（７ｍ＋５）/７　：　７ｍ＋５は７で割り切れないから既約分数。
ｍ＋（６/７）＝（７ｍ＋６）/７　：　７ｍ＋６は７で割り切れないから既約分数。

ｍ＋（７/７）＝ｍ＋１　　　　　：　これは自然数だから省いてよい。

　だから、[ｍ，ｍ＋１]の間には、7の既約分数は上に書いた間の６個の分数しかないことがわかります。

　問題では、和を求めるので、ここでこの６個の和を求めておきます。
　７ｍが６個あるから、
　｛７ｍ×６＋（１＋２＋３＋４＋５＋６）｝/７＝６ｍ＋３
　
　これが＃２で答えたことです。

●次に０からｍまでの区間[０，ｍ]を考えて、それを次のようにｍ個に区切って，それぞれの区間の既約分数の和がどうなるかを上の結果（６ｍ＋３）を使ってを考えます。ｍは区間の始まりの数だったので、

[０，１]・・・・・・・６×０　　　　＋３
[１，２]・・・・・・・６×１　　　　＋３
[２，３]・・・・・・・６×２　　　　＋３
[３，４]・・・・・・・６×３　　　　＋３
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
[ｍ－１，ｍ]・・・６×（ｍ－１）＋３
　　　　　　　　　　　　↑
　これを上から下まで足して区間[０，ｍ＋１]の間に有る7の既約分数の和を求めておきます。　
　｛６×０＋３｝＋｛６×１＋３｝＋｛６×２＋３｝＋・・・・・＋｛６×（ｍ－１）＋３｝
を求めますが、このとき、次のように分けて足していきます。

●　１）　６の掛け算の項の和
　｛６×０＋６×１＋６×２＋６×３＋・・・＋６×（ｍ－１）｝
　＝６×｛０＋１＋２＋３＋・・・＋（ｍ－１）｝
　ここで、最後の｛　　｝の部分に上の和の公式を使います。
　最後がｍまででなく（ｍ－１）までの和なので、計算しなおしておきます。（公式でｍをｍ－１とすればよい。）
　｛０＋１＋２＋３＋・・・＋（ｍ－１）｝＝（１/２）（ｍ－１）｛（ｍ－１）＋１｝
　＝（１/２）（ｍ－１）ｍ
これを使うと、
　｛６×０＋６×１＋６×２＋６×３＋・・・＋６×（ｍ－１）｝
　＝６×（１/２）（ｍ－１）ｍ
　＝３（ｍ－１）ｍ
が得られます。

●　２）　次に『＋３』ですが、これは何個あるか？わかりますね。
　”区間のあとの数字”とそれまでの『＋３』の個数が同じになっているこに気が付くと楽ですね。最後がｍなのでｍ個です。
　だから『＋３』の項の和は３がm個あるので　３×ｍ＝３ｍ　です。

●　１）と２）を足せば、区間[０，ｍ]に有る７の既約分数の和が求められます。これを　S（ｍ）　と書いておきます。
　S(ｍ）＝３（ｍ－１）ｍ＋３ｍ＝３ｍ＾２－３ｍ＋３ｍ＝３ｍ＾２
　実にきれいになってしまいました。　
　S(ｍ）＝３ｍ^２　　です。

●　次にｍからｎの間に有る既約分数を求めるには・・・
　『０からｎの間に有る７の既約分数の和』＝S（ｎ）から『０からｍまでの７の既約分数の和』＝S（ｍ）を引けば求められます。区間の両端のｍ，ｎは既約分数では無いので、境目については考えなくてよくそのまま引けばいいですね。それで
　S＝S(ｎ）－S(ｍ）＝３ｎ＾２　－　３ｍ＾２
となることがわかります。

この回答へのお礼

わかりますっ!!
ほんとに、ありがとうございました。

お礼日時：2009/04/21 06:40

No.2 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/04/19 22:04

●　＃１です。

　
　なぜか整数値になる・・・良く考えたら当たり前だった。
　すぐにひらめかないのが自分らしい・・・！！

　　ｍとｍ+1の間の７の既約分数は
　　ｍ＜ｍ＋１/７＜ｍ＋２/７＜・・・・＜ｍ＋６/７＜ｍ＋１
の関係にあるから、その和をとると、
　（ｍ＋１/７）＋（ｍ＋２/７）＋・・・・＋（ｍ＋６/７）
　＝６ｍ＋｛（１/７）＋（２/７）＋・・・・＋（６/７）｝
　＝６ｍ＋２１/７＝６ｍ＋３
　だから、いつも整数になるわけだ。
　これを使ってｎまでの和とｍまでの和の差をとっても簡単に解けると思う。

No.1 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/04/19 21:44

●　7を分母とする既約分数をK/７　（K∈N）とすると，

　ｍ＜K/７＜ｎ　∴　７ｍ＜K＜７ｎ　（ｍ，ｎ∈Ｎ）
　Ｋ/７が『ｍ，ｎの間に有る７の既約分数』ならば，Ｋは７ｍ＜Ｋ＜７ｎの中にあって、７の倍数で無ければよい。だから，7を分母とする既約分数の和は７ｍ＋１，７ｍ＋２，・・・，７ｎ－１の和を７で割ったものから，そのうちの７の倍数になるものの和を７で割ったものを引けばよい。
　Ｓ＝Σ（ｋ＝７ｍ＋１→７ｎ－１）ｋ/７－Σ（ｋ＝ｍ＋１→ｎ－１）７ｋ/７
ここで，　　　
Σ（ｋ＝７ｍ＋１→７ｎ－１）ｋ/７
　＝（１/７）｛Σ（ｋ＝１→７ｎ－１）ｋ－Σ（ｋ＝１→７ｍ）ｋ
　　；後ろのΣ・・・７ｍ＋１からあとを残すので７ｍまでの項を引くことに注意。
　＝（1/７）｛（７ｎ－１）｛（７ｎ－１）＋１｝/２－（1/７）・７ｍ（７ｍ＋１）/２
　＝（１/１４）｛７ｎ（７ｎ－１）－７ｍ（７ｍ＋１）｝
　＝（１/２）｛ｎ（７ｎ－１）－ｍ（７ｍ＋１）｝
Σ（ｋ＝ｍ＋１→ｎ－１）７ｋ/７
　＝Σ（ｋ＝ｍ＋１→ｎ－１）ｋ
　＝Σ（ｋ＝１→ｎ－１）ｋ－Σ（ｋ＝１→ｍ）ｋ
　　；上と同様ｍ項までを引くことに注意
　＝（１/２）（ｎ－１）｛（ｎ－１）＋１｝－（１/２）ｍ（ｍ＋１）
　＝（１/２）｛ｎ（ｎ－１）－ｍ（ｍ＋１）｝
これから，
Ｓ＝（１/２）｛ｎ（７ｎ－１）－ｍ（７ｍ＋１）｝－（１/２）｛ｎ（ｎ－１）－ｍ（ｍ＋１）｝
　＝３｛n^2－m^2｝
　なぜか常に整数値になりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
出来れば、Σを使わずに教えて頂ければ...(まだ高2のはじめなので)
ありがたいです、。

お礼日時：2009/04/20 10:14