十字交差点において機械の進行する方向の確率に関する標準偏差の求め方を教えてください

次の場合における標準偏差の求め方がわからず困っています。
教えて頂けないでしょうか？

ある機械が十字路交差点にさしかかりました
その機械は、その十字路交差点において、A:直進、B：右折,C：左折することができます。
その機械は、ある未知の確率で、A,B,Cのどちらかを決定します。
その確率を求めるために、
その機械がどちらの方向に進むかを１００回観測しました。
結果は、
A:　40回　（40%) 交差点で直進する
B:　30回 (30%) 交差点で右折する
C:　30回 (30%) 交差点で左折する

質問は、このときの標準偏差はどのようにもとめればいいでしょうか？
もう一つ質問がありまして、この場合の標準誤差は標準偏差を観測回数（この場合100)の平方根で割ればいいのでしょうか？

宜しくお願いいたします。

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/24 22:01

データが多次元だと、分散はひとつの数値じゃなく

共分散行列になるけれども、どうやって標準偏差に
変換するのか？　といった技術的問題以前に、
もっと根本的な混乱があるように思えます。

測定において、直進・右折・左折が現われた「回数」
をデータと捉えるのであれば、このデータは、標本数
１００個ではなく、それを集計した (40,30,30) が、
たった１個の三次元データということになります。
標本数１で、どうやって、分散や標準偏差を考えようと
いうのでしょうか？
このデータを、標本数１００と捉えようとすると、
各のデータは、{ 直進、右折、左折 } のうちのひとつ
となり、平均や分散が定義できるような代物ではない。
(直進 + 右折 + 左折) / 3 の値は何かと考えてみると、
状況が見えてくるでしょう。

あるいは、かなり強引ですが、
直進=0、右折=-π/2、左折=+π/2 とでもして、
一次元量の話に持ち込んでしまえば、普通に
平均や標準偏差が計算できるのかもしれません。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2009/04/24 14:01

直進する確率をP(A), 右折する確率をP(B)、左折する確率をP(C)(これらの合計は1)とする。

N回観測したとき、直進・右折・左折がそれぞれ丁度a×N回, 丁度b×N回, 丁度c×N回生じた(a+b+c=1)。このことから、
P(A)≒a
P(B)≒b
P(C)≒c
と推定した。

　このとき、たとえば「P(A)の推定誤差の標準偏差」それだけを単独で考えるのなら意味があります。その場合、「Aとそれ以外」という区別だけを考えればいいんだから、P(A)+P(A以外)=1となる二項分布の話に帰着します。（これならご自分でできる？）

　ですが、P(A),P(B),P(C)の推定誤差を一度に考えると、それらの誤差は互いに関係があるので、相互の関係の強さを「共分散行列」というもので表す形にしかなりません。

　どういうことかといいますと、たとえばP(A)の推定誤差がxだと思う、すなわち
P(A)=a+x
である場合を考えたとしましょう。すると、xの値に依存してP(B)の「推定誤差の標準偏差」は異なる。P(C)についても同様です。なので、「P(A)の推定誤差の標準偏差は××であり、P(B)の推定誤差の標準偏差は××であり、P(C)の推定誤差の標準偏差は××である」という風に言うことが出来ないのです。（しかし、うんとNが大きい場合には、そういう相互作用はあまり重要ではなくなります。）

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/24 12:51

この状況でなぜ「標準偏差を考えよう」と思ったのかがすごく気になる.

だいたい「平均」ってなんだ.

この回答へのお礼

すみません、的外れな質問でして。
求めたいことは、測定をしまして、その測定誤差を
求めたいと思ったのですが、どのように誤差を求めるのか
思いつかずに、質問に至りました。

お礼日時：2009/04/24 13:09

No.2 回答者： takurinta 回答日時： 2009/04/24 11:18

直進回数をX1, 右折回数をX2, 左折回数をX3とすると、n=X1 + X2 + X3で直進確率p1, 右折確率p2, 左折確率p3 (p1 + p2 + p3 = 1) のmultinomial distribution (多項分布) と考えられます。

多項分布に従う確率変数の分散は
Var(Xi) = n pi (1 - pi)
共分散は
Cov(Xi, Xj) = -n pi pj
ですが、標準偏差を使うという話はあまり聞きません。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85% …

この回答へのお礼

ありがとうございます。
多項分布になるのですね、
勉強してみます、

今回の質問の主旨は、測定の誤差を求めたいと思いまして、
安易に標準誤差と思い、そのため、標準偏差を求めたいと
思った次第です。

お礼日時：2009/04/24 13:07

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/24 09:54

標準偏差は、一次元の分布のバラツキを表現する値です。

ご質問の分布を、
｛ 直進、右折、左折 ｝のカテゴリー分布と考えても、
移動がなす二次元分布と考えても、
標準偏差は、定義できそうにありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
質問の設定のような測定をしたのですのが、
どのように測定の誤差を表せばいいのかと思いまして、
わからないため、質問しました。

お礼日時：2009/04/24 12:59