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「A,Bを(n×n)型行列として、|A|,|B|をA,Bの行列式とする。
行列式の積の保存より、
|AB|=|A||B|、|BA|=|B||A|。
ここで|A||B|=|B||A|であるから、|AB|=|BA|。
さらにもっと一般的に拡張すると
(n×n)型行列A1,A2,・・・・,Amに対して
行列式の積の保存を用いて、先ほどのような概念を行うと
|A1A2・・・・Am|はどこの行列を入れ替えても値は同じである。」
一般的に行列の積は交換法則は成り立たないのに、この説明からすると
行列式はどこを交換としても一意的に決まる。
本当にそうなのでしょうか?不思議です。

A 回答 (5件)

行列式の意味を考えて見ましょう。


n次元空間で一次独立なベクトルa1.a2,..,anがあったとして、
これらのベクトルによって作られる平方2n面体の体積をVとすると、
Aa1,Aa2,..,Aanで作られる平方2n面体の体積は|A|Vとなります。
(符号のとり方についての詳細は省く)
要するに行列Aであらわされる一次変換で体積が|A|倍されるわけです。
ABであらわされる一次変換ではまず|B|倍された後|A|倍されるわけですので
|AB|=|A||B|
となります。逆でも同じ。
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どこが不思議なのかが不思議。



(1) |AB|=|A||B| が不思議。
(2) |A||B|=|B||A| が不思議。
(3) |AB|=|BA| までは不思議でないが、
  「 | A1 A2 … Am | は、どこの行列を入れ替えても値は同じ」が不思議。

どれでしょう?
それによって、説明すべき事項は異なる。
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>これもそうだというのでしょうか?



そうはなりません。が、様々なことを考えるのが重要です。

「体積」を用いた説明は直感的ですが、n次元空間の体積の定義やその性質が、
我々の知る 3次元空間のそれと同じであるか、数学的には明らかではありませんし、
しばしば循環論法に陥いるので注意しましょう。
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えぇと.... 言っていることがよくわからないんだけどなぁ....


だって, 「異なる行列が同じ行列式を持つ」ことそのものは珍しくもなんともないよね. だから, 「一般的に行列の積は交換法則は成り立たない」とはいえ, これが行列式に対して同様に成り立つことは意味しないよね.
しかも「積の行列式が行列式の積」を認めるなら, 「積の順序をどう入れ替えても行列式は同じ」というのは当然に認めざるをえないのでは?
ついでにいうと「A1 A2 ... Am = O」だからといって「順序をどのように入れ替えても O」とならないこともまた自明. 言えるのは「行列式が 0」ということだけだ.
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この回答へのお礼

補足のところが勘違いしてすみません。そこは間違えました。

お礼日時:2009/05/02 12:52

>本当にそうなのでしょうか?不思議です。



そうなのです。不思議ですね。その発想は重要です。

この回答への補足

感想ありがとうございました。この説明から補題として考慮すると
「A1,A2,・・・・Amを(n×n)型行列として
行列の積A1A2・・・・Am=0ならば、どこを交換しても
この場合、積の交換法則も成り立ち0になる。」

これもそうだというのでしょうか?
本当気になっておもしろいです。

補足日時:2009/05/02 11:28
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