円順列　number2

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質問者：Cyokizou
質問日時：2009/05/11 23:15
回答数：1件

こんばんは

下記の円順列の問題ですが

2人の先生と4人の生徒が手をつないで輪をつくるとき、先生同士が向かい合う並び方は何通りあるか。

そして解答はこれ

先生同士が向かい合う場合　求める並び方は4!=24通り
（先生同士が向かい合うとき、残りの生徒は円順列にならないから）

と書いてあります。
なぜ向かい合うと円順列にならないのか？
向かい合う先生同士の位置が入れ替わる場合は考えなくていいのか？

説明していただけたら助かります。

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回答 (1件)

No.1ベストアンサー

回答者： banakona
回答日時：2009/05/12 06:42

＞なぜ向かい合うと円順列にならないのか？

６人全員が生徒だとすると、例えば
　Ａ　Ｂ
Ｆ　　　Ｃ
　Ｅ　Ｄ
と
　Ｆ　Ａ
Ｅ　　　Ｂ
　Ｄ　Ｃ
は位置を一つずらしただけなので同じとみなす。同様にずらしていくと
位置がずれただけのものが５つできるので、６！／６（＝５！）　とするのが円順列の普通の考え方。

でも、これは「Ａの位置を固定して、残り５人の並べ方を求める」とも解釈できる。固定したのだから、ずらす必要はないが、一つ固定したので一つ減って　５！

つまり「一人（ひとつ）を固定して考えると、円順列を普通の順列とみなすことができる。」

さて本題。
これも同様で、「先生が向かい合っているから円順列ではない」というよりは、「先生を固定して考えると普通の順列とみなせる」ということ。だから５！といいたいところだけど、もう一人の先生の位置も一意に定まるので、もう一つ減らして４！

＞向かい合う先生同士の位置が入れ替わる場合は考えなくていいのか？

解釈１：固定したのだから入れ替えを考える必要はない。
解釈２：
　生徒ＥＦの代わりに先生甲乙を入れるとすると、
　Ａ　Ｂ
甲　　　乙
　Ｄ　Ｃ
の位置を入れ替えた
　Ａ　Ｂ
乙　　　甲
　Ｄ　Ｃ
は、４！の中にある
　Ｃ　Ｄ
甲　　　乙
　Ｂ　Ａ
で表現ずみ。

いずれの解釈にせよ、入れ替えを考える必要はない。