三角関数の定積分の定義域

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質問者：ute3g2n
質問日時：2009/05/17 10:44
回答数：6件

∫[0,2π]sin^2x・cosxdx
という定積分についてなんですが、
t=sinx　とおいたときのtの定義域は
sin0=0,sin2π=0
なので[0,0]となるのか、
それともsinxの最大値、最小値をとって
[-1,1]となるのか、
どちらになるのでしょうか？

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回答 (6件)

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No.4ベストアンサー

回答者： info22
回答日時：2009/05/17 12:39

>そのやり方で解くと答えが0となりました。

なので、
sin^2(x)*cos(x)は周期2πの偶関数であり
sin^2(x)*cos(x)＝(1/4){cos(x)-cos(3x)}
と変形でき
cos(x)は周期2π、cos(3x)は周期2π/3なので
被積分関数全体を区間[0,2π]で積分すれば積分結果がゼロになるのは明らかですね。

グラフを描いてみましたので添付します。青の面積と赤の面積は等しく積分では符号が逆になり±打ち消しますので積分がゼロになることを裏付けています。

>sinx=t とおいたときのtの定義域は
>[0,0]とすればよいのだと分かりました。
これをすれば完全に「×」になります。

sinx=tのような置換が可能なのは、tとxが互いに一価関数であるときに限られます。たとえばt=1/2に対して積分範囲内に対応するxが4個存在します（多価関数）。つまり、xがtの一価関数になっていませんので置換が不可能ということです。置換できるのはxとtが互いに一価関数となるxの範囲内に積分範囲が収まっている場合に限られます。

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この回答へのお礼

詳しい解説をありがとうございます。
この区間での積分はtの値に対してxの値が2個以上存在するのため
置換できないので、三倍角の公式で解くのが賢明と言うことですね。
分かりました。
三角関数の置換は積分範囲に注意が必要ですね。

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お礼日時：2009/05/17 13:38

No.6

回答者： hugen
回答日時：2009/05/17 14:15

∫[0,2π]sin^2x・cosxdx

＝
[(1/3)(sinx)^3](0,2π)
＝
(1/3)(sin2π)^3-(1/3)(sin0)^3
＝
[(1/3)t^3](sin0,sin2π)
＝
∫[sin0,sin2π]t^2dt

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No.5

回答者： mister_moonlight
回答日時：2009/05/17 12:45

oh、ミステイク。

　＃2は無視して。Ｗ

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No.3

回答者： proto
回答日時：2009/05/17 12:27

まぁ、これくらいなら置換せずに解けた方が良いとは思いますが、

　　cos(x)*(sin(x))^2 = (sin(x))'*(sin(x))^2
より
　　∫{cos(x)*(sin(x))^2}dx = (1/3)*(sin(x))^3 +C
右辺の(1/3)*(sin(x))^3にx=0,x=2πを代入して差分を取ることにより、この積分が0になることがわかります。

置換する場合にしても、積分範囲の変換の仕方は、その他の置換積分の場合と同じです。

＞それともsinxの最大値、最小値をとって
＞[-1,1]となるのか
こんなことは教科書には書いていないはず。

基本に返って置換積分を素直に実行すれば、
＞sin0=0,sin2π=0
＞なので[0,0]となるのか
こちらが正しいことは分かるはず。
まぁ、積分範囲が[0,0]となってしまうのではじめはとまどうかも知れないが。
だとしても基本的な規則から外れる理由は無いだろう。

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No.2

回答者： mister_moonlight
回答日時：2009/05/17 11:31

＞そのやり方で解くと答えが0となりました。

なので、sinx=t とおいたときのtの定義域は[0,0]とすればよいのだと分かりました

冗談がきついね。

sin^2x・cosx＝（1/4）*{cosx-cos（3x）}だから、(1/4)*∫[0,2π]）{cosx-cos（3x）}dx を計算するんだよ。

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No.1

回答者： mister_moonlight
回答日時：2009/05/17 11:02

そんな事をする必要もないのに。

sin^2x・cosx＝（1-cos＾2x）*cosx＝cosx-cos＾3x。‥‥(1)
3倍角の公式より、cos（3x）＝4cos＾3x-3cosx　‥‥(2)
従って、(2)を(1)に代入して、sin^2x・cosx＝（1/4）*{cosx-cos（3x）}を定積分すれば良い。

計算は自信なし、チェックしてね。

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この回答へのお礼

そのやり方で解くと答えが0となりました。
なので、
sinx=t とおいたときのtの定義域は
[0,0]とすればよいのだと分かりました。
ありがとうございます。

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お礼日時：2009/05/17 11:19

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が成り立ちます。

つまり、
置換する前の被積分関数をf(g(x))g'(x)と表した時に、上の条件を満たしていれば、
積分区間をx:α→βからt:g(α)→g(β)とする
と考えて、問題は起こりません。

∫sinxdxをt=sinxで置換する例は、
t=1=sin(π/2)において、fに相当する関数が、t=1(=sin(π/2))で不連続(むしろ未定義)なので、上の式が成り立たなくても、問題はありません。

(※この後は、いろいろと引っかかる所をごまかしつつ書いているので(ぉぃ)、間違ってるかもしれませんm(_ _)m)

ところで、置換積分にはもう一種類あります。上に書いたのは、t=g(x)で置換した場合ですが、x=h(s)で置換することもありますよね。この場合の公式(?)は、

∫[x:γ→δ]f(x)dx=∫[s:h^(-1)(γ)→h^(-1)(δ)]f(h(s))h'(s)ds

こんな感じになると思います。
(まぁ、これは、最初の置換積分で、右から左に変形したものと考えられますが)

右辺の積分区間にh^(-1)が登場します。なので、hが逆関数を持つ、つまり、単調である必要があります。
置換前の積分区間で、hが単調でなければ、積分区間が単調となるように分割する必要があると思います。

さて、
Sinx=tで置換する場合の質問ですが、これは、前者のパターンの置換ですよね。

なので、私は、0→0でよいと思います。(もちろん、最初に書いた条件を満たしていれば。高校の範囲なら、大抵の場合、満たしているでしょうが)

まぁ、どっちの置換の時が単調じゃないとダメだったのか混乱しそうですので、どっちの置換の時でも、単調な区間に分割した方が、安全かもしれません。

(分割しないといけない、って方が、多数派のようですので、私が書いた事を鵜呑みにしないほうがよい気もします)

あと、
＞「sinxが単調でないから」ではなく、「tanxがx=π/2で定義されていないから」だと思いますが、いかがでしょうか？
「定義されていないから」ってのも違う気がしてきました。

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・弱塩基の塩　+　強塩基　→　強塩基の塩　+　弱塩基　（弱い者は出ていけ！反応）
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・酸性酸化物　+　塩基　→　塩　+　水　（中和反応）
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・両性酸化物　+　塩基　→　塩　+　水　（中和反応）
・両性酸化物　+　酸　→　塩　+　水　（中和反応）

それでは、また何かあったらどうぞ。