三角関数の定積分の定義域

解決済

  • 質問者：ute3g2n
  • 質問日時：2009/05/17 10:44
  • 回答数：6件

∫[0,2π]sin^2x・cosxdx
という定積分についてなんですが、
t=sinx　とおいたときのtの定義域は
sin0=0,sin2π=0
なので[0,0]となるのか、
それともsinxの最大値、最小値をとって
[-1,1]となるのか、
どちらになるのでしょうか？

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A 回答 (6件)

No.4ベストアンサー

  • 回答者： info22
  • 回答日時：2009/05/17 12:39

>そのやり方で解くと答えが0となりました。


なので、
sin^2(x)*cos(x)は周期2πの偶関数であり
sin^2(x)*cos(x)＝(1/4){cos(x)-cos(3x)}
と変形でき
cos(x)は周期2π、cos(3x)は周期2π/3なので
被積分関数全体を区間[0,2π]で積分すれば積分結果がゼロになるのは明らかですね。

グラフを描いてみましたので添付します。青の面積と赤の面積は等しく積分では符号が逆になり±打ち消しますので積分がゼロになることを裏付けています。

>sinx=t とおいたときのtの定義域は
>[0,0]とすればよいのだと分かりました。
これをすれば完全に「×」になります。

sinx=tのような置換が可能なのは、tとxが互いに一価関数であるときに限られます。たとえばt=1/2に対して積分範囲内に対応するxが4個存在します（多価関数）。つまり、xがtの一価関数になっていませんので置換が不可能ということです。置換できるのはxとtが互いに一価関数となるxの範囲内に積分範囲が収まっている場合に限られます。
「三角関数の定積分の定義域」の回答画像4
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この回答へのお礼

詳しい解説をありがとうございます。
この区間での積分はtの値に対してxの値が2個以上存在するのため
置換できないので、三倍角の公式で解くのが賢明と言うことですね。
分かりました。
三角関数の置換は積分範囲に注意が必要ですね。

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お礼日時：2009/05/17 13:38

No.6

  • 回答者： hugen
  • 回答日時：2009/05/17 14:15

∫[0,2π]sin^2x・cosxdx


＝
[(1/3)(sinx)^3](0,2π)
＝
(1/3)(sin2π)^3-(1/3)(sin0)^3
＝
[(1/3)t^3](sin0,sin2π)
＝
∫[sin0,sin2π]t^2dt
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No.5

oh、ミステイク。

　＃2は無視して。Ｗ
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No.3

  • 回答者： proto
  • 回答日時：2009/05/17 12:27

まぁ、これくらいなら置換せずに解けた方が良いとは思いますが、


　　cos(x)*(sin(x))^2 = (sin(x))'*(sin(x))^2
より
　　∫{cos(x)*(sin(x))^2}dx = (1/3)*(sin(x))^3 +C
右辺の(1/3)*(sin(x))^3にx=0,x=2πを代入して差分を取ることにより、この積分が0になることがわかります。


置換する場合にしても、積分範囲の変換の仕方は、その他の置換積分の場合と同じです。

＞それともsinxの最大値、最小値をとって
＞[-1,1]となるのか
こんなことは教科書には書いていないはず。

基本に返って置換積分を素直に実行すれば、
＞sin0=0,sin2π=0
＞なので[0,0]となるのか
こちらが正しいことは分かるはず。
まぁ、積分範囲が[0,0]となってしまうのではじめはとまどうかも知れないが。
だとしても基本的な規則から外れる理由は無いだろう。
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No.2

＞そのやり方で解くと答えが0となりました。

なので、sinx=t とおいたときのtの定義域は[0,0]とすればよいのだと分かりました

冗談がきついね。

sin^2x・cosx＝（1/4）*{cosx-cos（3x）}だから、(1/4)*∫[0,2π]）{cosx-cos（3x）}dx を計算するんだよ。
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No.1

そんな事をする必要もないのに。



sin^2x・cosx＝（1-cos＾2x）*cosx＝cosx-cos＾3x。‥‥(1)
3倍角の公式より、cos（3x）＝4cos＾3x-3cosx　‥‥(2)
従って、(2)を(1)に代入して、sin^2x・cosx＝（1/4）*{cosx-cos（3x）}を定積分すれば良い。

計算は自信なし、チェックしてね。
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この回答へのお礼

そのやり方で解くと答えが0となりました。
なので、
sinx=t とおいたときのtの定義域は
[0,0]とすればよいのだと分かりました。
ありがとうございます。

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お礼日時：2009/05/17 11:19

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ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので＃１の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

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(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
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lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
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よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
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=｛1/2・log(1+x)｝[0,π/2]－lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

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[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
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[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→...続きを読む

Aベストアンサー

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、（回答＃２より）
[x]=[Φ][x']

同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

これらの関係から、
[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
となり、これを[y']=[g][x']と見比べると、
[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
＞[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数（＝成分）の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
[v][x]=[v'][Φ^-1]*[Φ][x']
[w][y]=[w'][Ψ^-1]*[Ψ][y']
と表してみてもわかる。ベクトルの成分[x']は行列[Φ]によって[x]にうつり、同じく成分[y']は行列[Ψ]によって[y]にうつっている。だから、同一の線形写像が
f:[x]→[y]
g:[x']→[y']
と表現されているなら、[Ψ][g][x']=[f][Φ][x']となっていて、いいかえると、
[x']→[y']の対応は、[x']→[x]→[y]→[y']という対応をたどったときも、一致していなくてはならない。だから、成分で考えたとき、[g]は、[Φ]→[f]→[Ψ^-1]と同一になるのである。つまり[g]=[Ψ^-1][f][Φ]。

あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、（...続きを読む

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