∫[0,2π]sin^2x・cosxdx
という定積分についてなんですが、
t=sinx とおいたときのtの定義域は
sin0=0,sin2π=0
なので[0,0]となるのか、
それともsinxの最大値、最小値をとって
[-1,1]となるのか、
どちらになるのでしょうか?

A 回答 (6件)

>そのやり方で解くと答えが0となりました。


なので、
sin^2(x)*cos(x)は周期2πの偶関数であり
sin^2(x)*cos(x)=(1/4){cos(x)-cos(3x)}
と変形でき
cos(x)は周期2π、cos(3x)は周期2π/3なので
被積分関数全体を区間[0,2π]で積分すれば積分結果がゼロになるのは明らかですね。

グラフを描いてみましたので添付します。青の面積と赤の面積は等しく積分では符号が逆になり±打ち消しますので積分がゼロになることを裏付けています。

>sinx=t とおいたときのtの定義域は
>[0,0]とすればよいのだと分かりました。
これをすれば完全に「×」になります。

sinx=tのような置換が可能なのは、tとxが互いに一価関数であるときに限られます。たとえばt=1/2に対して積分範囲内に対応するxが4個存在します(多価関数)。つまり、xがtの一価関数になっていませんので置換が不可能ということです。置換できるのはxとtが互いに一価関数となるxの範囲内に積分範囲が収まっている場合に限られます。
「三角関数の定積分の定義域」の回答画像4
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この回答へのお礼

詳しい解説をありがとうございます。
この区間での積分はtの値に対してxの値が2個以上存在するのため
置換できないので、三倍角の公式で解くのが賢明と言うことですね。
分かりました。
三角関数の置換は積分範囲に注意が必要ですね。

お礼日時:2009/05/17 13:38

∫[0,2π]sin^2x・cosxdx



[(1/3)(sinx)^3](0,2π)

(1/3)(sin2π)^3-(1/3)(sin0)^3

[(1/3)t^3](sin0,sin2π)

∫[sin0,sin2π]t^2dt
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oh、ミステイク。

 #2は無視して。W
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まぁ、これくらいなら置換せずに解けた方が良いとは思いますが、


  cos(x)*(sin(x))^2 = (sin(x))'*(sin(x))^2
より
  ∫{cos(x)*(sin(x))^2}dx = (1/3)*(sin(x))^3 +C
右辺の(1/3)*(sin(x))^3にx=0,x=2πを代入して差分を取ることにより、この積分が0になることがわかります。


置換する場合にしても、積分範囲の変換の仕方は、その他の置換積分の場合と同じです。

>それともsinxの最大値、最小値をとって
>[-1,1]となるのか
こんなことは教科書には書いていないはず。

基本に返って置換積分を素直に実行すれば、
>sin0=0,sin2π=0
>なので[0,0]となるのか
こちらが正しいことは分かるはず。
まぁ、積分範囲が[0,0]となってしまうのではじめはとまどうかも知れないが。
だとしても基本的な規則から外れる理由は無いだろう。
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>そのやり方で解くと答えが0となりました。

なので、sinx=t とおいたときのtの定義域は[0,0]とすればよいのだと分かりました

冗談がきついね。

sin^2x・cosx=(1/4)*{cosx-cos(3x)}だから、(1/4)*∫[0,2π]){cosx-cos(3x)}dx を計算するんだよ。
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そんな事をする必要もないのに。



sin^2x・cosx=(1-cos^2x)*cosx=cosx-cos^3x。‥‥(1)
3倍角の公式より、cos(3x)=4cos^3x-3cosx ‥‥(2)
従って、(2)を(1)に代入して、sin^2x・cosx=(1/4)*{cosx-cos(3x)}を定積分すれば良い。

計算は自信なし、チェックしてね。
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この回答へのお礼

そのやり方で解くと答えが0となりました。
なので、
sinx=t とおいたときのtの定義域は
[0,0]とすればよいのだと分かりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/17 11:19

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と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
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<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
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と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
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∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
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Q積分における置換の際の積分範囲は?

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問題は
たとえば、
Cosx=t(元のxの積分範囲が0→πのとき)と置換したとき、
-sinxdx=dt
tの積分範囲は、1→―1でしょうか?それとも、-1→1でしょうか。

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Sinx=tと置換したとき(元のxの積分範囲が0→πのとき)
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Aベストアンサー

何度もすいません。

(α≦x≦βにおけるgの値域をg(α≦x≦β)と書きます)
・fがg(α≦x≦β])上で連続
・gがα≦x≦β上でC^1級(⇔微分可能で導関数が連続)
を満たす時、(gの単調性は必要ない)

∫[x:α→β]f(g(x))g'(x)dx=∫[t:g(α)→g(β)]f(t)dt

が成り立ちます。

つまり、
置換する前の被積分関数をf(g(x))g'(x)と表した時に、上の条件を満たしていれば、
積分区間をx:α→βからt:g(α)→g(β)とする
と考えて、問題は起こりません。

∫sinxdxをt=sinxで置換する例は、
t=1=sin(π/2)において、fに相当する関数が、t=1(=sin(π/2))で不連続(むしろ未定義)なので、上の式が成り立たなくても、問題はありません。


(※この後は、いろいろと引っかかる所をごまかしつつ書いているので(ぉぃ)、間違ってるかもしれませんm(_ _)m)

ところで、置換積分にはもう一種類あります。上に書いたのは、t=g(x)で置換した場合ですが、x=h(s)で置換することもありますよね。この場合の公式(?)は、

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こんな感じになると思います。
(まぁ、これは、最初の置換積分で、右から左に変形したものと考えられますが)

右辺の積分区間にh^(-1)が登場します。なので、hが逆関数を持つ、つまり、単調である必要があります。
置換前の積分区間で、hが単調でなければ、積分区間が単調となるように分割する必要があると思います。


さて、
Sinx=tで置換する場合の質問ですが、これは、前者のパターンの置換ですよね。

なので、私は、0→0でよいと思います。(もちろん、最初に書いた条件を満たしていれば。高校の範囲なら、大抵の場合、満たしているでしょうが)

まぁ、どっちの置換の時が単調じゃないとダメだったのか混乱しそうですので、どっちの置換の時でも、単調な区間に分割した方が、安全かもしれません。

(分割しないといけない、って方が、多数派のようですので、私が書いた事を鵜呑みにしないほうがよい気もします)

あと、
>「sinxが単調でないから」ではなく、「tanxがx=π/2で定義されていないから」だと思いますが、いかがでしょうか?
「定義されていないから」ってのも違う気がしてきました。

∫sinxdxの被積分関数(=sinx)を f(g(x))g'(x)の形で書くと、(g(x)=sinxです)cosxの正負で場合分けをする必要がでてきます。

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cosxの正負で場合分けをする必要がある理由の大元を辿ると、sinxが単調じゃないから、なのかもしれませんが、単調でないからといって、必ず分割の必要性が出るわけではありません(しかも、そのような例はいくらでもあります)。
なので、少なくとも分割する理由は、「単調でない事」以外に、あると考えるべきではないでしょうか?
あるいは、「単調でない、かつ、○○だから」のような理由なのかもしれませんが。

長文&乱文で失礼しました。

何度もすいません。

(α≦x≦βにおけるgの値域をg(α≦x≦β)と書きます)
・fがg(α≦x≦β])上で連続
・gがα≦x≦β上でC^1級(⇔微分可能で導関数が連続)
を満たす時、(gの単調性は必要ない)

∫[x:α→β]f(g(x))g'(x)dx=∫[t:g(α)→g(β)]f(t)dt

が成り立ちます。

つまり、
置換する前の被積分関数をf(g(x))g'(x)と表した時に、上の条件を満たしていれば、
積分区間をx:α→βからt:g(α)→g(β)とする
と考えて、問題は起こりません。

∫sinxdxをt=sinxで置換する例は、
t=1=sin(π/2)において、fに相当する関数が、t=1...続きを読む

Q無機化学はなにを暗記すればいいんですか?

無機化学は暗記だと書いてありました。
参考書を開いたら、いろいろ書いてあります。
が、なにを覚えればいいのかわかりません。

例えば、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体

これをまんま覚えればいいのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。無機化学は確かに暗記が必要ですが、理解を伴った効率的な暗記が必要です。

「フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体」と唱えてもいざ問題を解くときには忘れてしまいます。

無機化学は極めようと思っても、学生には無理があります、ごくまれに難関大学でマイナーな元素の性質を問う問題もありますが、無機で出る問題はほとんど決まっています。

あなたはおそらく無機化学初心者でしょうから、頻出事項とマイナーな事項の区別がつかないと思いますので、参考書を使うことをお勧めします。

現在あなたが持っている参考書が何なのかわかりませんが、多くの参考書には「重要!」「ここがポイント!」などの重要箇所があると思います。まずはそこを覚えましょう。

もしあなたの参考書が使いにくいのならば、別の参考書にしましょう。あまりマニアックなのは避けて、シンプルで基礎的な参考書にしましょう。東進ブックスの「岡野の化学をはじめからていねいに(無機・有機化学編)」などがお勧めです。

さて暗記するコツを教えましょう。無機化学で暗記する物は大きく分けて2つです。1つは物質の性質。もう一つは化学反応式です。物質の性質はほとんど丸暗記です。ですが性質が似ている元素のグループを知っていると覚えることが少し減ります。アルカリ金属・アルカリ土類金属・遷移元素・ハロゲン・希ガスや両性元素・酸性酸化物・塩基性酸化物などのグループは押さえましょう。またゴロで覚えるのも効果的です。私が使っているのは、両性元素は「ああすんなり(Zn Al Sn Pb)」。「ひ さん に働く」で「非」金属の酸化物は「酸」性酸化物。「禁 煙」したい「金」属の酸化物の「塩」基性酸化物。などなど。


化学反応式についてはほとんど暗記の必要はありません。反応の原理だけ知っていれば知らない化学反応式でも書けます。そのために必要な知識を書きます。

(1)イオン化傾向の大きい順番
K Ca Na Mg Al Zn Fe Ni Sn Pb H2 Cu Hg Ag Pt Au(貸そう か な ま あ あ て に すん な ひ ど す ぎ るしゃっ(はく) きん)
(2)基本的な反応原理
・弱酸の塩 + 強酸 → 強酸の塩 + 弱酸 (弱い者は出ていけ!反応)
・弱塩基の塩 + 強塩基 → 強塩基の塩 + 弱塩基 (弱い者は出ていけ!反応)
・揮発性酸の塩 + 不揮発性酸 → 不揮発性酸の塩 + 揮発性酸

・イオン化傾向がA>Bのとき
 A + Bの陽イオン → Aの陽イオン + B

・酸性酸化物 + 塩基 → 塩 + 水 (中和反応)
・塩基性酸化物 + 酸 → 塩 + 水 (中和反応)

・酸性酸化物 + 水 → オキソ酸
・塩基性酸化物 + 水 → 塩基

・両性酸化物 + 塩基 → 塩 + 水 (中和反応)
・両性酸化物 + 酸 → 塩 + 水 (中和反応)

それでは、また何かあったらどうぞ。

こんにちは。無機化学は確かに暗記が必要ですが、理解を伴った効率的な暗記が必要です。

「フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体、フッ素は刺激臭がある淡黄色の気体」と唱えてもいざ問題を解くときには忘れてしまいます。

無機化学は極めようと思っても、学生には無理があります、ごくまれに難関大学でマイナーな元素の性質を問う問題もありますが、無機で出る問題はほとんど決まっています。

あなたはおそらく無機化学初心者でしょうから、頻出事項とマイナーな事項の区別が...続きを読む


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