F=∫x dx (0~2まで積分)
があったとします。

これを
F=∫lnx d(lnx)としたとき積分範囲は(0~2)のままなのでしょうか?

また、この2式は同じこと(どちらも値がF)を表しているようなのですが、なぜそうなるのでしょうか?

次に具体的な計算について質問ですが

F=[1/{√(2π)*ln2}] *∫(積分区間0~x) exp[-(lnx-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnx)

この計算はどうするのでしょうか?
積分区間0~xについては、x=0.4で計算お願いします。
ちなみに上の式は、元の式で与えられてる値は代入したもので、もとの式の形をわかって頂くために、あえて値を代入しただけで計算してまとめておりません。

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A 回答 (1件)

> F=∫lnx d(lnx)としたとき積分範囲は(0~2)のままなのでしょうか?



ままなのです。

定積分なので、変数をxからtに書き換えても同じです。
F=∫lnt d(lnt) (積分範囲はlnt=0~2)

 ( t=0~2ではないことに注意!おそらくここで混乱なさってるんでしょう。)そして改めて

x = lnt

とおけば

F=∫x dx (積分範囲はx=0~2)

となる。元通りですね。

> ∫(積分区間0~x) exp[-(lnx-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnx)

これは式そのものが駄目です。積分区間の上限xが積分変数lnxに出てくるxと同じだから、これでは定積分になってません。

∫ exp[-(lnx-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnx) (積分範囲はlnx=0~a)

というのなら問題なしで、変数をxからtに書き換えて

∫exp[-(lnt-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnt) (積分範囲はlnt=0~a)

ここで改めて、

x = lnt

と定義すれば

∫ exp[-(x-ln1)^2/2*(ln2)^2] dx (積分範囲はx=0~a)

となります。ちなみにこの積分はどうやっても初等関数では表せませんで、せいぜい
「正規確率積分」Φ(y) = (1/(√(2π)))∫exp(-(x^2)/2)dx  (積分範囲はx=-∞~y)
= (1/2)+(y/(√(2π)))(1-(y^2)/(3×2×1!)+(y^4)/(5×(2^2)×2!)-(y^6)/(7×(2^3)×3!)+....)
あるいは
「誤差関数」Erfc(y)=∫exp(-x^2)dx (積分範囲はx=y~∞) = (√π)(1-Φ((√2)y))
などの特殊関数を使って表すしかありません。
 ですが、ご質問では特定のyにおける値を知りたいだけなのだから、正規確率積分(すなわち正規分布の累積度数)の値を確率統計の教科書になら大抵載っている「正規分布表」という数表で調べることもできますし、Excelにもこの値を返す関数があります。
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