別質問で、帯分数の加減を、仮分数に直してから行うか、整数部分と分数部分に分けて行うかという質問をした者です。中1生の親です。

回答にお礼を書いていて、私自身の中学時代の記憶が蘇ってきて、掲題の質問となりました。

私自身の経験でも、小学校では答えが仮分数になったら極力帯分数に直せ等、帯分数重視だったのに、中学では仮分数で良いとなって行きましたが、子供を見ていると今もその点は概ね変わっていないようです。

ここで、中学時代に苦手だった数学を得意科目にしてくれた恩師の言葉を思い出したのですが、要約すると、

小学校では分数を小数は同じと習ってきたかもしれないが、意義が違う。分数は除法の計算過程が示されていて、小数は計算結果の表示だと考えろ。その意味で、分数の本質は除法である。帯分数にすると何を何で割ったのか一目瞭然でなくなる。だからこれからは仮分数しか考える必要はない。

というもの。

それまで、分数・小数・演算がバラバラに記憶されていたのが、すっきり一つに纏まった思いでした。特に分数=除法というのは、小学校でもいわれるものの、本当にストンと落ちたのは上の説明からでした。

そこで...、

未だに小学校では帯分数中心、中学校以降は仮分数中心で教えているのはなぜなんでしょうか。確かに、帯分数は整数部分で大体どれくらいの数なのかが示されるので具体的なイメージを持ちやすいメリットはありますが、逆に除法との繋がりが見えにくくなるデメリットもあるように思う次第。互除法などでは帯分数を使いますが、それ以外では帯分数でなくては、という場面に出会ったことがありません。

大学時代に、友人と塾を作って(私は英語専門でしたが)一部数学も見た際、分数=除法というのが、理解はしていても身についていない生徒はとても多かったこともあっての質問です。

宜しくお願いします。

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A 回答 (4件)

10年前の話ですが・・・


参考まで。

小学生で”帯分数”に直せ、というのは、
”思考の順番と手法”だと思っています。
15/4 だとしたら、3+3/4 ですよね。
ここで、この答えになるにあたって、小学生の思考は掛け算2回(4*4 と4*3で、4*4だと大きいから、4*3)と引き算1回(15-12)ですよね。
これをみると、ああ、3/4は1より小さいから、
15/4は3より大きく、4より小さいね。ってこと。
帯分数にすることで、分数部分は”1未満”ということが
分かるわけで。
学校では分数と除法の関係についてあまり詳しく教えてないようです。有理数と無理数の違いを説明するのが大変なので、
当然有理数の分数のみ分数=小数と教えているのみです。
これが仮分数のままだとしたら、その分数がある整数以上なのか
どうかの判断がつきにくくなります。また、
5/4を小数点以下2桁で答えなさいとなった際の整数部分は
いくら?と答えられないお子様もいます。(実際いましたよ・・・)
そういうわけで、帯分数をカリキュラム的に先に教えている
と思うのです。

中学・高校では関数が出ますので仮分数を使う必要がある
のですが、それは”~以上~未満”という帯分数の基礎知識
があればとっかかりがちょっと楽になります。
2元2次関数等ならその差は顕著です。
3/7は1未満、実は除法であること、そして無理数であることから、
そのまま扱った方がよい、とか。

しかしながら、塾では帯分数は使わない方が多いです。
ややこしくなってしまい、不合理だから。
(この違いが学力の差等を生むのでしょうが)
私も帯分数に関しては、答えが仮分数でもいい、と
教えました。(わざわざ帯分数に直さなくてもよい)
テストで間違いになったら持ってこい、とまで。
結局間違いとなっていた生徒はいませんでしたが。

私の子供もいつか、帯分数とかにぶつかるんでしょうけど。
帯分数は時間のあるうちに学んでいってほしいものです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

確かに、帯分数は具体的数のイメージである整数で大体のところが捉えられるメリットがありますね。具体→抽象という手順は大事だと思います。

しかし、除法=分数=比という関係を良く理解することは、同等にあるいはそれ以上に大切だと思うんですよね。仕事などでspread sheetを組む必要があるときなど、この理解が曖昧だと全然進められません。spread sheetには「÷」はありませんから。恥ずかしい話ですが、家内は3÷4=3/4が一瞬理解できていませんでした。一応一番難しい私立女子大を卒業しているんですが...。

仮分数・帯分数の区別というより、分数は、計算そのもの、式そのものをあらわしていて、そのまま計算結果の表示としても認められるが、より分かりやすく結果を表示する為には、小数か、帯分数で表示すると教えたほうがいいと、ずっと思っています。

お礼日時:2009/05/21 10:31

私の回答は#2さんに近いのですが、帯分数を教えるわけはもっと馬鹿馬鹿しい理由にあるのだと思います。



私はアメリカに住んでいますが、アメリカやイギリスでは、未だに長さをフィートで測ります。これは12インチが1フィートですから、その半分=1/2とか、1/3とか、半分の半分=1/4に馴染む単位になっています。そこで、物差しのメモリは1インチ以下では、1インチの半分=1/2、半分の半分=1/4、半分の半分の半分=1/8、半分の半分の半分の半分=1/16と刻まれております。したがって、定規のメモリは例えば
    8と(3/8)インチ
と帯分数を使って読む以外に方法がありません。ですから、帯分数は現在でもアメリカでは生活の必需品であり、当然ですが中学校まで待たずに小学校て教わります。

ところが、日本ではメートル法なので、実生活では帯分数を使う必然性が無いのです。教育学部の数学の先生方が何と理屈をつけようとも、実際には小学校で成績を付けて出来る子と出来ない子のふるい分けをするだけのために、帯分数を勉強させられている、と言うのが本当のところだと思います。

教育界では、こんな馬鹿馬鹿しい例は他にもあります。私は理系出身ですが、私が若い頃は、大学の第二外国語でドイツ語を習わされました。現在では専門家の間でもドイツ語を使うことは皆無に近く、超例外の方を除いて、ある意味で全く必要のない科目でした。ところがどの大学でもドイツ語を教えていました。それは、戦前では理系に取ってドイツ語が大変重要な言葉でしたので、日本の教育界が大変多くのドイツ語の教師を生産してしまったのに原因があります。戦後になってドイツ語が必要でなくなっても、その先生方は食べて行かなくてはならないので、大学側もそう簡単には首を切れず、その先生方にドイツ語の授業を続けさせていたのです。ですから、我々の世代は、大多数の人にとってまるで必要も無いドイツ語を第二外国語としての必須科目として勉強させられてしまった訳です。

帯分数も、算数の教育をアメリカやイギリスからコピーしてやっているようなとことがあるので、アメリカ人に取っては必要でも、日本人に取ってはまるで必要もない余計なことを、日本の小学生達は勉強をさせられているのだと思います。現に、もし本当に帯分数が必要なら中学校以降でも勉強させられて、それを使っているはずですからね。

下にアメリカの定規の写真を載せておきます。それを見ると、アメリカでは、どうして帯分数が必要だか分かると思います。
「なぜ帯分数を先に教えるのか」の回答画像4
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

日本の教育については確かにそう思うところもありますね。ウチの場合、子供を塾に行かせたことがないのですが、聞くところによると、塾では小学生でも早くから仮分数でいいといっていると聞いています。私自身が塾を開いていたときもそうしていました。塾のほうが本質を突いているケースは良くありますね。

アメリカの単位については、他の方も言ってらっしゃいましたが、私自身も海外在住経験あり、良くわかります。しかもシャツのサイズなど32-3/4を"Thirty two three"なんて略すので、全然分からなかった覚えがあります。

でもこれも不思議といえば不思議なんですよね。12進法なら常に分数表示というわけではないことは、時間の単位などの例がありますよね。長さ・重さは、10進法との併用という要素があるからでしょうかね。

お礼日時:2009/05/21 10:10

帯分数は実際の大きさをイメージしやすいので、小学生の少数との比較など、また実生活にも使えるより実践的な記載方式であるからと思います。

日本では少数が主流ですが、ヤードポンド法では数の端数を
1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 ...などの帯分数として表記されていることがよくあります。これも実際実用的はどうかは別ですが。
仮分数は実際の数学では積や商は単項式であるので使い方は必至であるということでしょう。

例の一つのりんごを3で割るのは理解出来るが1/3や 2/5で割るというのを教えてのは割り算という概念ではたいへんですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

ヤードポンド法の場合については、失礼ながら他の方へのお礼に纏めました。

お礼日時:2009/05/21 10:33

算数では実生活への利用、数学では学問としての基礎作りを意識するからでしょうかね。

おっしゃる通り帯分数は整数部分でどれくらいかが示されているので、例えば2と3/5であれば、「あぁ、2と3の間の数で、若干3に近いんだな」と認識できます。僕は料理とかではこの感覚は大事だと思うんですよ。3カップ半というのは帯分数の発想ですよね。数字を概数として認識・把握するっていうのは、実生活では必要です。あと、何らかの数字を扱う仕事につく場合も効いてくると思います。金融関係の仕事とか、実験データを眺めると時とか。

帯分数は、きわめて計算しづらい(例えば累乗は簡単には出来ません)不便な存在ですので、数学そのものを学ぶ上ではほとんど必要ないと思われます(互除法は面白い例ですが)。僕も帯分数のことは、ずっと(不当にも)甘く見ていたんですが、最近「数字そのもの」に向き合う場面が増えて来るなかで、数字に対する感覚を持つためにはなかなか大切なのかもしれないと思い直したりもします。
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Q分数の足し算

分数の足し算を教えてください。
1/36+1/45=1/20 になるのでしょうが。ちょっと理解できません。

Aベストアンサー

分母が異なる分数は分母を同じになおしてやる必要があります。(通分といいます)
そこで分母同士を比べると「36=9x4」で「45=9x5」ですから、両方の最小公倍数を求めて、「9x4x5=180」を共通の分母にするのです。
すると式は
5/180(1/36の分母分子に5をかけた)+4/180(1/45の分母分子に4をかけた) となり、=9/180=1/20 です。

Q無理数の整数部分、小数部分

(√5+1)/(√5-1)の整数部分をa、小数部分をbとするとき、
a,bの値を求めよ。

という問題の
解き方がわかりません。

有利化をして、(3+√5)/2

ここから先の解きかたを
おねがいします!

Aベストアンサー

2^2=4、3^2=9なので 2<√5<3
(3+2)/2<(3+√5)/2<(3+3)/2
つまり 2.5<(3+√5)/2<3
もうあとは分かりますね。

Qなぜ、分数の足し算引き算は分母をそろえないと計算できないのですか?掛け算割り算はなぜそろえなくても計算できるのですか?

なぜ、分数の足し算引き算は分母をそろえないと計算できないのですか?そして掛け算割り算はなぜそろえなくても計算できるのですか?

Aベストアンサー

 分母が異なると言うことは、1の長さが違うから、1の長さを合わせるために通分をします。1/2と1/3をたし算するときは、1/2を3/6に、1/3を2/6にして、1の長さを同じにしてから、たし算をします。
 3ドルのものを見たときに、1ドルが90円のとき、270円かと思い浮かぶのではないでしょうか? 分母が異なる分数のたし算は3ドルと100円のたし算と似ています。普通は3+100ではなく、円にして、270+100=370とします。

かけ算 例 5/2×4/3
分解すると5/2の1/3が4個です。5/2の1/3は5/6、5/6が4個だから、答えは5/6+5/6+5/6+5/6=20/6=10/3
かけ算は同じ分数のたし算だから、分母をそろえるとかはありません。

わり算 例 5/2÷3/4
5/2から3/4が何回ひき算できるかなので、5/2を10/4として3/4をひいていきます。
10/4-3/4-3/4-3/4=1/4 3回ひけました。
1/4残りました。3/4はひけないので、1/4(1/3回)をひきます。
1/4-1/4=0 3回と1/3回ひけたので、答えは、10/3です。
わり算は分母をそろえてからでないと計算できないのですが、わる数の分数をひっくり返してかけ算すると分母をそろえるとかしなくても簡単にできてしまいます。

 分母が異なると言うことは、1の長さが違うから、1の長さを合わせるために通分をします。1/2と1/3をたし算するときは、1/2を3/6に、1/3を2/6にして、1の長さを同じにしてから、たし算をします。
 3ドルのものを見たときに、1ドルが90円のとき、270円かと思い浮かぶのではないでしょうか? 分母が異なる分数のたし算は3ドルと100円のたし算と似ています。普通は3+100ではなく、円にして、270+100=370とします。

かけ算 例 5/2×4/3
分解すると5/...続きを読む

Q帯分数と仮分数について

ふとした疑問程度なのですが

中学校の時は
答えが分数になる場合、最終的には帯分数にするのが正解でした。

仮分数でも正解扱いにはなりますが、問題の解答なんかでは
帯分数があって、括弧付けで仮分数が記載されてる形でした。


ただ、高校の数学(中退してしまったので1年の1学期程度ですが)では
仮分数は帯分数に直さず、仮分数のままでいいと言われました。
中学の時と逆で、解答は仮分数があって括弧付けで帯分数という感じでした。

疑問に思ったので先生に質問したら
うろ覚えですが
中学数学より高校数学のほうが難しくて、
帯分数より仮分数のほうが難しいから、仮分数で答えるほうが高校数学的に正しいみたいな事を言われました。

そういうものなのでしょうか?

気になったので質問します。

Aベストアンサー

帯分数は、算数のローカルルールなので、
数学では使うべきではありません。
例えば、「3と1/3」のつもりで 3 1/3 と
書いたら、3×1/3 = 1 の意味だと読まれる
可能性が高い。
中学以降は、仮分数で書きましょう。
答案を全部ひらがなで書いたりしないのと同じこと。
コミュニケーションのための決まりごとです。

Q分数の足し算で

分数の足し算で
最近通分が出来ない子供が多いようですが
通分しないで足し算すると、正しく通分した場合の答えと大体 2:1になります。
何か法則とかあるのでしょうか?たまたま?

Aベストアンサー

既に「分母が近い場合、2つの分数の値が近い場合に、2:1になる」と言う答えが出ていますが。

どうしてそうなるか、考えて見ます。

1/100 + 1/101を例に取りましょう。

通分して正しく計算した場合は

1/100 + 1/101
=(1*101)/(100*101) + (1*100)/(101*100) …(1)
=101/10100 + 100/10100
=(101+100)/10100 …(2)
=201/10100
となります。

間違って計算した場合は
1/100 + 1/101
=(1+1)/(100+101) …(3)
=2/201
となります。

通分している場合は(1)のように分子分母に100近い値を掛け算していますので、比べやすいよう(3)の式の分子分母を100倍した式(4)を作ります。
=(1+1)/(100+101) …(3)
=(100*(1+1))/(100*(100+101)) …(3)
=(100+100)/(10000+10100) …(4)

ここで、正しく通分した場合の式(2)と、間違った式(4)を比べます。

=(101+100)/10100 …(1)
=(100+100)/(10000+10100) …(4)

分子の方は、ほぼ同じような式になりました(注:※)。なので、分母だけ考えます。

しかし、分子の方が大きく異なり、(1)は「分母がそのまま」ですが、(4)は「近い数2つを足し算」してしまっています。

「近い数2つを足し算」するのは「2倍にする」ような物です。

つまり「分母が2倍になる」のですから「値が半分になる」わけです。

なので「正解の値:不正解の値≒2:1」になる訳です。

簡単に言えば「間違った計算の時は、分母同士も足し算しちゃうから、半分ちかくの値になっちゃう」のです。

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※:「分母が近くない場合」や「2つの分数の値が近くない場合」には、通分する事により、分子の方も「大きく違った式」になってしまいます。その為に比率が2:1にはなりません。

既に「分母が近い場合、2つの分数の値が近い場合に、2:1になる」と言う答えが出ていますが。

どうしてそうなるか、考えて見ます。

1/100 + 1/101を例に取りましょう。

通分して正しく計算した場合は

1/100 + 1/101
=(1*101)/(100*101) + (1*100)/(101*100) …(1)
=101/10100 + 100/10100
=(101+100)/10100 …(2)
=201/10100
となります。

間違って計算した場合は
1/100 + 1/101
=(1+1)/(100+101) …(3)
=2/201
となります。

通分している場合は(1)のように分子分母に100近い値を掛け算しています...続きを読む

Q整数部分、小数部分の問題について

問題で、√5の整数部分をa、小数部分をbとする。
(1)aとbを求めよ。
(2)b/aの整数部分を求めよ
というのがありました。(1)は分かって、a=2、b=√5-2となりました。だけど、(2)が分かりません。
解き方を教えてもらえると助かります。

Aベストアンサー

b/aだったら計算するまでもない。
0<b<1でa>1であるから,0<b/a<1に決まっている。であるから整数部分は"0"。

a/bだったら、有理化してみれば見通しが立つと思います。
分母が"1"になるので大きさの評価はそんなに難しくないでしょう。

Q分数の足し算なのですが、ちょっと混乱してしまったので教えてください。

分数の足し算なのですが、ちょっと混乱してしまったので教えてください。
3と1/3+2と5/12などのような足し算は(3+2)+(4/12+5/12)=5と9/12のように計算して良いのでしょうか?

Aベストアンサー

はい。それでよいです。

3と1/3 + 2と5/12 = 3+1/3 + 2+5/12
 = 3 + 2 + 1/3 + 5/12

もしも足した分数が仮分数になってしまったら、また真分数に直さないといけませんね。

Q整数÷小数と小数÷整数の意味について

整数÷小数と小数÷整数の意味について

以下の題に対する立式は正しいですか?
(1)整数÷小数
→10リットルのジュースをコップ1個あたり0.5リットル入れると、コップはいくつ必要?
10リットル÷0.5リットル=20個

(2)小数÷整数
→0.5リットルのジュースを10等分したうちの1つの量は?
0.5リットル÷10=0.05リットル
 

Aベストアンサー

こんばんは。

正しいです、
そして、2つとも、小数が入った割り算の初心者向けの例示として見事だと思います。

Q分数の足し算、引き算は通分するのに、掛け算割り算はしなくていいのはなぜ?

分数の足し算引き算は通分して分母をそろえないといけないのですが、なざかけざん割り算は通分しなくてもいいのでしょうか?

できるだけわかりやすく簡単に説明するにはなんて言ったらよいでしょうか??

Aベストアンサー

通分しても構わないのですよ。

例えば、(1/6)÷(1/4) の場合。
通分して (2/12)÷(3/12)、
割って (2×12)/(12×3) = 2/3。
割るとき、分子分母に共通の 12 を
約分しています。

通分せずに (1×4)/(6×1) としても、
2 で約分することは必要ですから、
手間はあまり違いませんね。

Q帯分数・仮分数、なぜそう呼ぶの?語源は?

整数と分数の和の形で書いた分数を帯分数(たいぶんすう、mixed number)という。分子の数が分母の数以上である分数を仮分数(かぶんすう、improper fraction)という。

なぜ、そう呼ばれるのでしょうか?
帯と仮という漢字、感じの違いはなんなのでしょうか?

Aベストアンサー

小学校の頃、答えは帯分数に直せ、とかいう規則がありましたよね?途中式を書くのが面倒な僕は、嫌だった…特に、帯分数など使うのは小学校の間だけで、あれが中学校に入っての数学の躓きにつながっているんだと思います。
閑話休題。
帯分数は、整数を帯びる分数、としてよいでしょう。仮分数は、僕の小学校の頃の捕らえ方では、帯分数が真なるもので、その答えにいきつくまでの仮の姿、でした。帯分数に対してのみ仮分数というので、案外そうかもしれません。


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