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こんにちは。高校数学IIIの増減表について質問があります。
今まで、数学IIの増減表の第一次導関数f '(x)についてf '(x)=0の前後の+or-の符号を求める際にその間に具体的な値をf'(x)に代入して求めていたのですが、数学IIIの増減表のf '(x)は高次式や√の多項式、三角関数など直接計算して求めていては時間がかかるものばかりです。そこで以前、学校の数学IIIの授業で先生が「f '(x)=0となるxの値の前後の符号は一番右に最高次の符号を書いて後は+と-を交互に書きなさい。」と教えてもらった通りにやってみたのですが解答と異なる増減表がたまにできてしまいます。例えばf '(x)=0の前後で同符号が続くものなどです。また三角関数にはこの方法は応用できませんでした。そこで、この、増減表のf '(x)の+-の符号を計算せずにすばやく求めることができる厳密な公式等がございましたらどなたか、教えてください。

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A 回答 (1件)

公式などはないですが、符号判断を早くするスキルを教えておきますね。



普通に説明していては分かりにくいで例を出したいと思います。

例 f '(x)=e^x(x^2+1)(x^2-2)/(x-3) の+-を調べる。

まず最初に、式を分解、というか、掛け算、割り算されているものをそれぞれ分けてから、+-を考えます。今回は

e^x
(x^2+1)
(x^2-2)
(x-3)

のように分けて、1個ずつ符号を考えます。
e^xはどんなxについても常にe^x>0です。つまりずっと+です。
(これは最低限の知識です)

(x^2+1)はこれもわかると思いますが、x^2は常に0以上の数になるので、それに1を足したx^2+1はずっと+です。

x^2-2は因数分解できます。(x-√2)(x+√2)ですね。
2次式なら不等式を使って+-を判断できます。
(x-√2)(x+√2)<0 →-√2<x<√2
(x-√2)(x+√2)>0 →x<-√2、√2<x

つまり-√2<x<√2で符号は-、x<-√2、√2<xで+です。

面倒ならx-√2とx+√2をさらに分けて考えて、
x-√2 →xが√2より大なら+、小なら-
x+√2 →xが-√2より大なら+、小なら-
としてもいいです。

そして最後に
(x-3) →xが3より大なら+、小なら-
ですね。
ただしここで注意があります。
(x-3)は分数の分母にあるので、0になってはいけません。
なので増減表の f '(x)でx=3の所には斜線を引きます
(x=3でf '(x)の値は無い)。


これでそれぞれの+-を調べ終えました。ここからが本番です。
これらをまとめて、f '(x)の符号がどのようになるか考えます。

分かりやすくするために表にまとめてみましょう。
どのような表かというと、増減表と同じような形で、
一番上にxを書き、
それより下の段(増減表でf '(x)やf (x)を書く部分)は
さっきバラバラにした
e^x
(x^2+1)
(x^2-2)
(x-3)
を書いてやります。
そして、増減表のf '(x)の+-を書くときのように、
それぞれの欄に+-を書きます。
(x-3)でx=3の所には斜線を引くのに注意です。

あとは簡単。f '(x)はこれらの式の掛け算(割り算)なのですから、
書いてある+-を掛け算して、表の1番下に書いてやりましょう。

例えばxが√2…3の…部分では
e^x     +
(x^2+1)   +
(x^2-2)   +
(x-3)    -

となってるはずですから、符号を全部掛け算すると-になります。
このようにして1番下に掛け算の結果を書いていきましょう。
0を掛け算するときはもちろん0に、
掛け算に斜線/があるときは1番下も斜線にします。

このようにして1番下に書いた+-が
増減表に書くf '(x)の+-になります。

質問者さんが困っている
高次式や√の多項式、三角関数

については、

高次式  →できる限り因数分解をする
√の多項式→普通の√ならずっと+になるので計算の必要なし
      
3乗根、4乗根…の場合は、
n乗根のnが偶数→ずっと+なので計算必要なし
nが奇数→中身の+-が√を付けた後の+-と一緒なので、中身の+-を考えればよい。

三角関数 →どの角度の範囲で+、-になるかはわかると思うので、それに気をつけて表に書く

ことで対処できると思います。

あと注意点としては、
全体のf '(x)の式に-が掛け算されているときに、それを忘れないことです。

慣れてきたら
e^x     
(x^2+1)   
は+-を考えるときの表からはずしてしまいましょう。
常に+のやつは+-を考えるときに必要ないのはやれば分かると思います、+を掛け算しても符号は変わりませんからね。


最初は時間がかかるかもしれませんが、
練習を積み重ねて、スピードをあげていけば速くなります。
頑張ってください。
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この回答へのお礼

丁寧でとても分かり易い御回答ありがとうございます。
早速、教えて頂いた方法で練習してみます(^^)

お礼日時:2007/06/09 20:40

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