線形代数で

ちょっとわからないことがあるので質問します。
f(x)=3x ,g(x)=x^2　のとき(f+g)(x)は何になるんでしょうか？

また、特に関数に設定がない（上のように具体的な数式は全くない）場合に「R上の線形空間である」ことを証明するにはどうしたらいいのでしょうか？
とりあえず
(f+g)(x)=f(x)+g(x) , (af)(x)=af(x)(aは実数R)となることを証明すればいいという流れはわかるのですが・・・ｆとｇをどのように設定すればいいのかがわかりません。
一応それらしき設定は、「V上の実数値関数の全体をA0(X)によりあらわす。ｆ、ｇ∈A0(X)」だけです。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： incd 回答日時： 2009/05/20 13:16

線形空間であることを示すためには、まず

(1)加法の演算(f+g)(x), スカラー倍の演算(af)(x)を定義する.
これらは、証明する側が適切だと思われるものを選ぶ部分です。といっても大抵形は明らかです。今回の場合は(f+g)(x)=f(x)+g(x), (af)(x)=a*f(x)で十分でしょう。

(2)これらをもって、線形空間の性質を満たしていることを確認する。性質は、ノートとかテキストを参照した方がいいのではないかと思います。たぶん特に大事なのは、加法の演算について閉じている:f,g∈A0(X)ならば、（f+g）(x)∈A0(X)。とか、ゼロ元の存在：(0+f)(x)=f(x)となるような0∈A0(X)の存在.とか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/20 12:51

そもそも「(f+g)(x)」はどのように定義されているのですか?

あるいは 2つの関数 f, g に対し「f+g」はどのような関数を表しているのですか?