インフルが日本国民全員にあと何日で感染をするか求めたい

ただの例題です。
必ず感染するインフルエンザがはやったとして、
一日に２割ずつ感染者が増えていくとします。
現在200人の患者がいるとして、人口の1億3千万が必ず感染すると仮定すると、何日目で全人口を超えますか？
連立方程式だとおもいますが、計算式が思いつかないので、教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： riddle09 回答日時： 2009/05/23 21:01

♯２です。

中学生レベルかぁ。難しいなぁ。

条件から患者の数は、
１日後は１．２倍
２日後は１．４４倍
３日後は１．７２８倍
４日後は２．０７３６倍
５日後は２．４８８３２倍・・・
になります。
こうして２００人が１３０００００００人になるには
患者の数は６５０００００倍にならなければなりません。
５日で２．４８８３２倍だとその２倍の１０日後には
２．４８８３２×２．４８８３２≒６．２倍になります。
更にその２倍の２０日後には６．２×６．２＝３８．４４倍、
更にその２倍の４０日後には３８．４４×３８．４４≒１４７８倍、
更にその２倍の８０日後には１４７８×１４７８≒２１８４０００倍
となります。
更にその５日後には、２１８４０００×２．４８８≒５４３４０００倍
その翌日には５４３４０００×１．２≒６５２１０００倍で
全人口を超える事になります。

この問題は、連立(１次)方程式でも２次方程式でもなく、
指数方程式(任意の定数のⅹ乗)で表わされるものなので、
中学生レベルではちょっと難しいのではないかと思います。

No.4 回答者： kiwa67 回答日時： 2009/05/22 21:32

#1 です。

K(1) = 1.2 X N
K(M+1) = 1.2 X K(M)

上記の漸化式は、質問文を数式化したものなので、
この漸化式を一般式への変換をします。

K(2) = 1.2 X K(1)
= 1.2 X (1.2 X N)

K(3) = 1.2 X K(2)
= 1.2 X (1.2 X 1.2 X N)

上記考察から
K(D) = 1.2 のD 乗 X N
です。

Nは、２００なので、
1.2 の D 乗が　>= 130000000/200
の不等式を満たす D を求めればいいです。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2009/05/21 10:51

　面白い問題を考えましたね。

> 何日目で全人口を超えますか？

「一日に２割ずつ感染者が増えていく」という規則を素直に表したANo.1の式（「漸化式」と呼ばれる形をしています）は

K(M)=N×1.2^M

と書き換えることができ、ただし1.2^Mとは「1.2のM乗」のことです。この式によるとK(M)はM=74日目に全人口を越えます。(ANo.2の計算は、使った対数(log)の近似値の精度がちょっと悪すぎるようです。）

　しかし、そもそも「全人口を越え」るってどういう事でしょうか。たとえば「全人口1億3千万人のうち1億4千万人が感染している」という状況になる筈ですが、あれれ？はて、こんなことってあり得ますか？

　言い換えれば、「一日に２割ずつ感染者が増えていく」という規則はいつまでもは成り立たつはずがない。つまり、この仮定自体が矛盾を含んでいるのです。

　そこで、そういう矛盾が出ないように「感染者数が全人口に比べてかなり少ないうちは一日に２割ずつ感染者数が増えていくが、感染者数が全人口に近づくと増え方は頭打ちになって、結局、感染者数は全人口を越えない」ような規則とはどんなものか、という問いを考えてみましょう。
　もちろん答は一つではないけれども、たとえば、

K(0)=N
K(M+1)=(1+0.2(Z-K(M))/Z)K(M)　　（M=1,2,....)

という漸化式で表される規則は答になってます。（Zは全人口で、Z≧N≧0。他はANo.1の記号に合わせました。）感染者数K(M)が増えるにつれて感染者数の増加率0.2(Z-K(M))/Zがだんだん小さくなって行く仕掛けです。
　残念ながらこの規則はANo.1の式のようには簡単にできません。なので表計算ソフトで計算してみますと、感染者数が全人口の90%を越えるのは84日目、99%を越えるのは95日目、99.9%を越えるのは105日目。

No.2 回答者： riddle09 回答日時： 2009/05/21 08:13

＞一日に２割ずつ感染者が増えていくとします。

前日に比べて、翌日は２割感染者が増えるんですよね？
それならば、Ｄ日後の感染者数Ｋ(Ｄ)は
Ｋ(Ｄ)＝２００×１．２＾(Ｄ－１)　で表されます。
これが1億3千万以上になる最小のＤを求める訳です。
130000000÷200＝13÷2×10＾5
ここで、log1.2≒0.077　log13≒2.565　log2≒0.3　だから、
(log13-log2+5×log10)÷log1.2
　　　≒(2.565-0.3+5)÷0.077
　　　≒94.35
よって、９６日目ですね。

この回答への補足

logがわかりません。
あと、＾　がわかりません。
中学生レベルまで落としてほしいです。

補足日時：2009/05/21 09:02

No.1 回答者： kiwa67 回答日時： 2009/05/21 07:40

現在 N 人感染している。

M 日後の感染者を K(M) とあらわす。

K(1) = 1.2 X N
K(M+1) = 1.2 X K(M)

N が 200 としたとき、
K(D) が 1 億３千万を越す D を求めればいいです。

この回答への補足

むずかしくてわかりません。

補足日時：2009/05/21 09:01